Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.
Пусть заданы некоторые попарно различные точки
, называемые также узлами интерполяции, и известны значения
некоторой функции
в этих точках.
Если все расстояния между соседними узлами различны, то многочлен Ньютона строится по формуле[1]
![{\displaystyle P_{n}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f(x_{0};x_{1})+(x-x_{0})(x-x_{1})f(x_{0};x_{1};x_{2})+\ldots +(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})f(x_{0};\ldots ;x_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cd8b856e7027641d4d53b75aede5dfb2e804b9)
где
— разделённая разность порядка
.
Если соседние узлы находятся друг от друга на некотором фиксированном расстоянии
, то есть
,
, то многочлен Ньютона можно строить либо начиная с
(в таком случае говорят об «интерполировании вперёд»), либо с
(«интерполирование назад»).
В первом случае формула для многочлена Ньютона принимает вид[2]
![{\displaystyle P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51da6a1d09f9d7fe10a68e75fdced797c6dc78cd)
где
, а выражения вида
— конечные разности.
Во втором случае формула принимает вид[3]
![{\displaystyle P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcf64ffd0e016b2be37262885316f52761089b4)
где
.
При
справедлива формула
![{\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}C_{x-x_{0}}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{m-k}\,C_{m}^{k}\,f(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24bdd02f64dc9da9d457e907e3756480277a4a8)
где
— обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.
Многочлен Ньютона представляет собой одну из форм записи многочлена Лагранжа, поэтому остаточные члены этих формул совпадают[4]. Однако остаточный член
формулы Ньютона можно записать в другой форме:
- для случая неравноотстоящих узлов[4]:
![{\displaystyle R_{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n})f(x_{0};\ldots ;x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e417816f854e8c89b0e997332e5edc027206bd)
- Если функция
имеет производную порядка
, то
где
— некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку, содержащему все узлы интерполяции.
- для случая равноотстоящих узлов:
- для интерполирования вперёд[5]:
![{\displaystyle R_{n}={\frac {h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}q(q-1)(q-2)\ldots (q-n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5eb6967832a190ab13140de4551b4d834b78ca6)
- для интерполирования назад[6]:
![{\displaystyle R_{n}={\frac {h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}q(q+1)(q+2)\ldots (q+n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca28d63ade8832fad5fafcde3765c384b361c78a)
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 107.
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 119.
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 121.
- ↑ 1 2 Березин, Жидков, 1962, с. 109.
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 122.
- ↑ Березин, Жидков, 1962, с. 123.