Критерий Дарбина — Уотсона

Критерий Дарбина—Уотсона (или DW-критерий) — статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей.

Статистика Дарбина—Уотсона

Критерий назван в честь Джеймса Дарбина^[англ.] и Джеффри Уотсона^[англ.]. Критерий Дарбина—Уотсона рассчитывается по следующей формуле^[1]^[2]:

{\begin{aligned}&DW={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}(e_{t}-e_{t-1})^{2}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t-1}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=\\&={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=1}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {e_{1}^{2}+e_{T}^{2}+2\sum \limits _{t=2}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}\approx \\&\approx 2-2{\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=2(1-\rho _{1}),\end{aligned}}

где $\rho _{1}$ — коэффициент автокорреляции первого порядка.

Подразумевается, что в модели регрессии ${\vec {Y}}={\boldsymbol {X}}{\vec {\beta }}+{\vec {\varepsilon }}$ ошибки специфицированы как $\varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+v_{t}$ , где $v_{t}$ распределено, как белый шум. $\mathbb {E} (\varepsilon _{t})=0$ , $\mathop {\mathrm {Var} } (\varepsilon _{t})={\frac {\sigma _{v}^{2}}{1-\rho ^{2}}}$ , а $\mathop {\mathrm {Corr} } (\varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1})=\rho$ , где $|\rho |<1$ .

В случае отсутствия автокорреляции $DW=2$ ; при положительной автокорреляции $DW$ стремится к нулю а при отрицательной — к 4:

{\begin{cases}\rho _{1}=0\Rightarrow DW=2;\\\rho _{1}=1\Rightarrow DW=0;\\\rho _{1}=-1\Rightarrow DW=4.\end{cases}}

На практике применение критерия Дарбина—Уотсона основано на сравнении величины $DW$ с теоретическими значениями $d_{L}$ и $d_{U}$ для заданного числа наблюдений $n$ , числа независимых переменных модели $k$ и уровня значимости $\alpha$ .

Если $DW<d_{L}$ , то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция);
Если $DW>d_{U}$ , то гипотеза не отвергается;
Если $d_{L}<DW<d_{U}$ , то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчётное значение $DW$ превышает 2, то с $d_{L}$ и $d_{U}$ сравнивается не сам коэффициент $DW$ , а выражение $(4-DW)$ ^[2].

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают^[2].

Недостатки

Неприменим к моделям авторегрессии, а также к моделям с гетероскедастичностью условной дисперсии и GARCH-моделям.
Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
Даёт достоверные результаты только для больших выборок^[2].
Не подходит для моделей без свободного члена (для них статистика, аналогичная $DW$ , была рассчитана Farebrother).
Дисперсия коэффициентов будет расти, если $v$ имеет распределение, отличающееся от нормального.

h-критерий Дарбина

Критерий Дарбина—Уотсона неприменим для моделей авторегрессии, так как он для подобного рода моделей может принимать значение, близкое к двум, даже при наличии автокорелляции в остатках. Для этих целей используется $h$ -критерий Дарбина.

$h$ -статистика Дарбина применима тогда, когда среди объясняющих регрессоров есть $Y_{t-1}$ . На первом шаге методом МНК строится регрессия. Затем критерий $h$ Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами^[2]:

h=\left(1-{\frac {1}{2}}DW\right){\sqrt {\frac {n}{1-n\cdot \mathop {\mathrm {Var} } ({\hat {\gamma }})}}},

где

$n$ — число наблюдений в модели;
$\mathop {\mathrm {Var} } ({\hat {\gamma }})$ — оценка дисперсии коэффициента при лаговой результативной переменной $Y_{t-1}$ .

При увеличении объёма выборки распределение $h$ -статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение $h$ -статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения^[3].

Ограничение данной статистики следует из её формулировки: в формуле присутствует квадратный корень, следовательно, если дисперсия коэффициента при $Y_{t-1}$ велика, то процедура невыполнима.