Круг Мора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Круг Мора для объёмного напряженного состояния

Круг Мора — это круговая диаграмма, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Названа в честь Отто Кристиана Мора. Является двумерной графической интерпретацией тензора напряжений.

Первым человеком, создавшим графическое представление напряжений для продольных и поперечных напряжений изгибаемой горизонтальной балки был Карл Кульман. Вклад Мора заключается в использовании этого подхода для плоского и объёмного напряжённых состояний и определение критерия прочности, основанного на круговой диаграмме напряжений[1].

Физический смысл[править | править вики-текст]

Внутренние усилия возникают между частицами сплошного деформируемого тела в качестве реакции на прикладываемые внешние силы: поверхностные и объёмные. Эта реакция согласуется со вторым законом Ньютона, приложенным к частицам материальных объектов. Величина интенсивности этих внутренних сил называется механическим напряжением. Т.к. тело считается сплошным, эти внутренние силы распределяются непрерывно по всему объёму рассматриваемого объекта.

В инженерном деле распределение напряжений в объекте определяется через анализ его напряжённо-деформируемого состояния для получения значений напряжений в каждой материальной точке объекта. Согласно Коши напряжение в любой точке сплошного материального тела полностью определяется девятью компонентами напряжений тензора напряжений, :

После того как распределение напряжений было определено относительно координатной системы , может быть необходимо определить компоненты тензора напряжений в частной материальной точке относительно повернутой координатной системы , т.е. напряжения, действующие на площадке с различной ориентацией, проходящей через интересующую нас точку. Например, может быть необходимо найти максимальное нормальное напряжение или максимальное касательное напряжение и направление, в котором они действуют. Для решения этой задачи необходимо совершить преобразование тензора напряжений. Графическим представлением этого преобразования тензора напряжений является круг Мора.

Уравнения круга Мора[править | править вики-текст]

Компоненты напряжений, действующих на плоскости (площадке), проходящей через материальную точку бесконечно малого материального тела, находящегося в состоянии равновесия

Для получения уравнения круга Мора для плоского напряжённого состояния рассматривается двумерное бесконечно малое материальное тело, находящееся вокруг материальной точки с единичной площадкой в направлении, параллельном плоскости -, т.е. перпендикулярно к зрителю.

Исходя из условий равновесия бесконечно малого материального тела величины нормального напряжения и касательного напряжения равны:

Эти два уравнения являются параметрическим представлением круга Мора.

Вывод параметрических уравнений круга Мора[править | править вики-текст]

Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы, образованной путём сечения элементарного параллелепипеда наклонной площадкой. Нормальное напряжение действует на площадке площадью . Из равенства проекций сил на ось (ось ) получаем:

Известно, что

Тогда можно получить

Касательное напряжение также действует на площадке площадью . Из равенства проекций сил на ось (ось ) получаем:

Известно, что

Тогда можно получить

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Parry Richard Hawley Grey. Mohr circles, stress paths and geotechnics. — 2. — Taylor & Francis, 2004. — P. 1–30. — ISBN 0-415-27297-1.