Лемма Фату

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

Формулировки из функционального анализа[править | править вики-текст]

Пусть фиксировано пространство с мерой . Допускается . Далее, пусть  — последовательность неотрицательных[1] измеримых функций на . Тогда справедливо следующее неравенство для нижних пределов

.

Обратите внимание: в формуле функции могут достигать бесконечности, их интегралы тоже могут быть бесконечными.


Если, кроме того,  — суммируемы, имеют предел почти всюду и имеют ограниченные в совокупности интегралы

,

 — некоторое фиксированное число, тогда  — суммируема и справедливо неравенство:

Формулировка из теории вероятностей[править | править вики-текст]

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть неотрицательная последовательность интегрируемых случайных величин . Тогда выполняется следующее неравенство для нижних пределов

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Если обладает более слабым условием — ограниченностью снизу какой-либо суммируемой функцией: , то теорему можно применить к последовательности


Литература[править | править вики-текст]