Теорема Леви о монотонной сходимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо́ Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега[1], теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Различные формулировки из функционального анализа[править | править вики-текст]

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) — фиксированное пространство с мерой.

  • Пусть на множестве X задана последовательность функций f_n, причем
f_1(x)\le f_2(x)\le\ldots\le f_n(x)\le\ldots,

функции f_n интегрируемы и их интегралы ограничены в совокупности:

\int_X f_n(x)d\mu \le K.

Тогда почти всюду существует конечный предел f(x)=\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x), функция f интегрируема на X и \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_X f_n(x)d\mu=\int\limits_X f(x)d\mu.

  • Пусть ряд \sum_{k=1}^\infty\varphi_k(x) состоит из суммируемых неотрицательных функций. Тогда если интегралы от частичных сумм ряда ограничены в совокупности:
\sum_{k=1}^n\int\limits_X\varphi_k(x)\mu(dx)\leqslant C,

то ряд \varphi(x)=\sum_{k=1}^\infty\varphi_k(x) сходится к почти всюду конечной суммируемой функции и

\sum_{k=1}^\infty\int\limits_X\varphi_k(x)\mu(dx)=\int\limits_X\varphi(x)\mu(dx).

Формулировка из теории вероятностей[править | править вики-текст]

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов \Omega, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть \{X_n\}_{n=1}^{\infty} — монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

\mathbb{E}\left[\lim\limits_{n\to \infty} X_n\right] = \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{E}X_n.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. То есть даёт условие, при котором из сходимости функциональной последовательности f_n(x)\rightarrow f(x) к суммируемому пределу следует сходимость и равенство интегралов \lim_{n\to\infty}\int f_n(x) dx=\int f(x) dx.


Литература[править | править вики-текст]