Теорема Леви о монотонной сходимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо́ Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега[1], теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Различные формулировки из функционального анализа[править | править код]

Далее обозначает пространство интегрируемых функций на пространстве с мерой . Мера не предполагается конечной. Для всех интегралов далее областью интегрирования является всё пространство .

Теорема Леви (о монотонном пределе интегрируемых функций). Пусть - монотонно возрастающая последовательность функций, интегрируемых на :

для всех и .

Если их интегралы ограничены в совокупности:

,

Тогда:

  1. почти всюду существует конечный предел (т.е. функции сходятся поточечно к некоторой функции почти всюду на );
  2. предельная функция интегрируема на , т.е. ;
  3. функции сходятся к функции в среднем, то есть по норме пространства ;
  4. допустим предельный переход под знаком интеграла:
.

Другая форма теоремы Леви относится к почленному интегрированию неотрицательных рядов:

Теорема Леви (о почленном интегрировании неотрицательных рядов). Пусть - неотрицательные функции, интегрируемые на . Если ограничены в совокупности интегралы от частичных сумм ряда

,

тогда

  1. ряд сходится почти всюду к конечному значению;
  2. сумма ряда является интегрируемой функцией;
  3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства ;
  4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:
.

Первая и вторая форма теоремы переходят одна в другую при замене , или . Однако вторая форма допускает следующее расширение на интегрирование функциональных рядов, не обязательно знакопостоянных:

Теорема Леви (о почленном интегрировании функциональных рядов). Пусть - функции, интегрируемые на . Если сходится ряд

,

тогда

  1. ряд абсолютно сходится почти всюду к конечному значению;
  2. сумма ряда является интегрируемой функцией;
  3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства ;
  4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:
.

Чтобы получить теорему Леви в этой форме, нужно применить теорему Лебега о мажорированной сходимости, так как частичные суммы ряда допускают интегрируемую мажоранту:

Формулировка из теории вероятностей[править | править код]

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть  — монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. То есть даёт условие, при котором из сходимости функциональной последовательности к суммируемому пределу следует сходимость и равенство интегралов .

Литература[править | править код]