Теорема Леви о монотонной сходимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо́ Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега[1], теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Различные формулировки из функционального анализа[править | править вики-текст]

Пусть  — фиксированное пространство с мерой.

  • Пусть на множестве задана последовательность функций , причем

функции интегрируемы и их интегралы ограничены в совокупности:

Тогда почти всюду существует конечный предел , функция интегрируема на и .

  • Пусть ряд состоит из суммируемых неотрицательных функций. Тогда если интегралы от частичных сумм ряда ограничены в совокупности:
,

то ряд сходится к почти всюду конечной суммируемой функции и

.

Формулировка из теории вероятностей[править | править вики-текст]

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть  — монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. То есть даёт условие, при котором из сходимости функциональной последовательности к суммируемому пределу следует сходимость и равенство интегралов .

Литература[править | править вики-текст]