Направленность (математика)

Направленность (направление, сеть) — обобщение понятия последовательности применяемое главным образом в топологии позволяет нужным образом обобщить понятие предела последовательности.

Направленностью в топологическом пространстве $X$ называется всякое отображение из некоторого направленного по возрастанию множества $\mathrm {A}$ в $X$. Обозначения: $\left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }$ или просто $\left\{x_{\alpha }\right\}$.

Всякую последовательность можно рассматривать как направленность, в этом случае роль направленного множества играет множество натуральных чисел $\mathbb {N}$.

Более содержательный пример направленности строится с использованием окрестностей точки в качестве индексов. Для некоторой точки $x$ топологического пространства рассматривается семейство $B_{x}$ всех её окрестностей. Отношение включения задает на $B_{x}$ структуру направленного множества: окрестности $U,V\in B_{x}$ упорядочены как $U\geqslant V$, если $U\subset V$. Каждой окрестности $U\in B_{x}$ сопоставляется ее произвольная точка $x_{U}\in U$, такое отображение $U\mapsto x_{U}$ является направленностью.

Связанные определения

Предел направленности

Направленность $\left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }$ называется сходящейся к точке $x$, если для любой окрестности $V$ точки $x$ существует индекс $\alpha _{V}\in \mathrm {A}$ такой, что $x_{\alpha }\in V$ для всякого $\alpha \geqslant \alpha _{V}$. Точка $x$ называется пределом направленности $\left\{x_{\alpha }\right\}$ и обозначается $x_{\alpha }{\xrightarrow[{\mathrm {A} }]{}}x$.

Множество всех пределов направленности $\left\{x_{\alpha }\right\}$ обозначается как $\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha }$. Если направленность имеет ровно один предел $x$, то пишут $x=\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha }$

Если топологическое пространство хаусдорфово, то каждая сходящаяся направленность имеет ровно один предел. Верно и обратное: если каждая сходящаяся направленность имеет ровно один предел, то пространство хаусдорфово.

Понятие предела направленности тесно связано с понятием точки прикосновения: точка является точкой прикосновения множества тогда и только тогда, когда существует сходящаяся к этой точке направленность элементов этого множества.

Поднаправленность

Понятие подпоследовательности можно обобщить на направленности. Направленность $\left\{y_{\beta }\right\}_{\beta \in \mathrm {B} }$ называется поднаправленностью (более тонкой направленностью) направленности $\left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }$, если для любого $\alpha \in \mathrm {A}$ найдётся такой индекс $\beta (\alpha )\in \mathrm {B}$, что для всякого $\beta '\geqslant \beta (\alpha )$ найдется $\alpha '\geqslant \alpha$, удовлетворяющий равенству $x_{\alpha '}=y_{\beta '}$.

Каждая последовательность обладает поднаправленностью, которая сама последовательностью не является.

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.