Обсуждение:Аксиома параллельности Евклида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Почему «одну и только одну»[править код]

Почему «одну и только одну»? По-моему, корректная формулировка — «не более одной», а то что одна параллельная всегда есть легко доказывается. Или я чего-то уже забыл в школьной программе? --The Wrong Man 18:58, 7 апреля 2006 (UTC)

ИМХО, правильно именно «одну и только одну». Доказать этого, насколько я знаю, нельзя (потому она и аксиома) --ajvol 19:04, 7 апреля 2006 (UTC)
Правильно "одну и только одну", это обозначает необходимое и достаточное условие. Edward Chernenko 19:05, 7 апреля 2006 (UTC)
Корректная формулировка - нельзя провести 2-х прямых, параллельных данной. В статье неверно утверждается, что "В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу [3] (за рубежом её часто называют аксиомой Плейфера):". Эта формулировка не эквивалентная 5-му постулату Евклида. Прочитайте 5-й постулат Евклида в этой же статье: где в нём утверждается, что можно провести одну параллельную прямую? И зачем к аксиоме ещё и примешивать теорему, которая доказывается до принятия этой 5-й аксиомы? В 8-м классе советской средней школы доказывали теорему о том, что центрально-симметричные прямые параллельны (иначе они будут иметь 2 точки пересечения, которые центрально-симметричны). Для её доказательства не нужна 5-я аксиома. Serge314 14:36, 23 ноября 2010 (UTC)
Так в статье как раз об этом и говорится: В этой формулировке слова «одну и только одну» часто заменяют на «только одну» или «не более одной», так как существование хотя бы одной такой параллельной сразу следует из теорем 27 и 28 «Начал» Евклида. У самого Прокла действительно говорилось «не более одной», а в учебниках попадаются все варианты. LGB 17:08, 23 ноября 2010 (UTC)
Вы не ответили ещё на два вопроса из поста Serge314. Мы ждем ответов. Мой замысел прост --- всё же хочу в ответах отыскать изюминку, которая окончательно укрепила бы мою убежденность в том, что здесь, а именно, на обсуждении только самой статьи и там, а именно, в предмете статьи Вы недостаточно подкованы для того, чтобы принимать участие в формировании избранной статьи. Sasha egorov 14:21, 2 января 2011 (UTC)
Как я понимаю, после успешного доказательства Великой теоремы Ферма вы занялись более трудной задачей — поиском изюминок в чужих статьях. Больших вам успехов в этом нелёгком деле. LGB 18:02, 2 января 2011 (UTC)
Хотел было с наскока отобрать у Вас лицензию "массовик затейник", да не Судьба! Да после такогоуспешного доказательства Великой теоремы Ферма, как не крути Вашим и нашим, пришлось продлить её ещё на год! С Началами! Sasha egorov 09:37, 3 января 2011 (UTC)
Ну одну-то параллельную можно всегда предъявить (с помощью циркуля и линейки). Зачем постулировать существование одной параллельной, если это легко показывается? или меня глючит? --The Wrong Man 19:08, 7 апреля 2006 (UTC)
Ну не Эвклида-же :-). В любом случае, как сейчас - это правильное определение, так в школах учат. Edward Chernenko 19:10, 7 апреля 2006 (UTC)
В школах вообще-то всякой ерунде учат. А по существу вопроса возражения есть? Зачем постулировать, то что можно доказать (т. е. существование одной параллельной)? --The Wrong Man 19:17, 7 апреля 2006 (UTC)
Я привёл в статье изначальное определение. В оригинале (Playfair's axiom) это звучит так: «Exactly one line can be drawn through any point not on a given line parallel to the given line.» --ajvol 19:51, 7 апреля 2006 (UTC)
Ok. Exactly one, значит, exactly. --The Wrong Man 19:56, 7 апреля 2006 (UTC)
Ребята, вы чего?
"Одна и только одна" параллельная прямая - Евклид (кривизна ноль, то есть плоскость);
"больше одной" - Лобачевский (кривизна отрицательная - вогнутый бесконечный цилиндр);
"меньше одной" - Риман (кривизна положительная - шар).
На шаре "прямыми" являются геодезические (кратчайшие расстояния между точками), то есть дуги окружностей с центрами в центре шара (меридианы, но не обязательно через полюс). Легко показать, что любые две нетождественные окружности с центрами в центре шара пересекаются. То есть на шаре нет параллельных "прямых".
Об аксиоме.
Пятую аксиому нельзя доказать из первых четырёх. (Циркуль с линейкой здесь ни при чём). Более того, пятую ("ровно одна") можно заменить на другую ("больше одной" или "меньше одной") и, добавив первые 4, построить внутренне непротиворечивые (но отличные от Евклидовой) геометрии.

На счёт больше правда, а меньше нет, в аксиоматике геометрии Римана требуется переделывать первые четыре аксиомы. Иначе говоря из первых четырёх можно доказать что существует хотябы одна. --Тоша 15:45, 18 октября 2006 (UTC)


О статье.
1. Не рассказано как попытки доказательства пятой дали толчок к развитию новых и важных разделов и методов математики. Да и физики: без идей Лобачевского (Пуанкаре и Минковского) не бы никакой Общей Теории Относительности.
2. Картинок мало (иллюстрации неевклидовых геометрий и ОТО), а та, что есть, никак в тексте не используется --Алёша 04:37, 27 апреля 2006 (UTC)

Как угодно большой площади[править код]

...как угодно большой площади - немного коряво, но какой угодно большой площади - на мой взгляд, не лучше. Выбираю вариант: сколь угодно большой площади. Чуток архаично, но вполне понятно.

Хм... откуда взято это утверждение? В геометрии Лобачевского это утверждение верно, какая эквивалентность может быть с 5-ым постулато? Agri 01:19, 22 марта 2008 (UTC)

  • Например, тут: "There is no upper limit to the area of a triangle" [1].
    Или тут подробнее: In hyperbolic geometry ... One surprising result is that there is a finite upper limit on the area of a triangle, this maximum corresponding to a triangle all of whose sides are parallel and all of whose angles are zero [2].
    То есть в геометрии Лобачевского существует треугольник максимальной площади (зависящей от кривизны); его отличительная особенность - все углы нулевые, все стороны параллельны. LGB 09:06, 22 марта 2008 (UTC)

О различении аксиом и постулатов[править код]

Я в принципе согласен, что, скорее всего, греки к аксиомам относили истины внешние — логические и т. п., а к постулатам — истины внутренние, то есть формулируемые в категориях данной модели. Только к содержанию данной статьи всё это не имеет ни малейшего отношения, лучше перенести эти рассуждения в статью АКСИОМА.

А предложенная переформулировка пятого постулата «на современном языке» вообще никуда не годится. Что такое — располагаем способом? Как сформулировать подобное на языке формальной логики первого порядка? LGB 09:40, 23 февраля 2008 (UTC)

Сформулировать такое на языке "логики первого порядка" невозможно принципиально. Потому что "располагаем способом" --- есть стандартный термин, но относящийся к конструктивной математике. В этом и проявляется своеобразие Евклидовского подхода, на которое в наше время не обращают должного внимания: в сочетании аксиоматического и конструктивистского подходов. В своременной же конструктивной математики всякая логика есть нечто производное от некоторого наперед заданного набора элементарных операций. То есть, согласно Евклиду, нахождение искомой точки пересечения есть одна из условно выбранных им элементарных операций. В такой ситуации это не только не требует каких-либо формулировок "на языке логики первого порядка", но напротив, сама попытка переформулировать постулаты (в отличие от аксиом) на языке логики была бы грубой ошибкой. --Vperlin 14:50, 25 февраля 2008 (UTC)

Сейчас можно только гадать, почему Евклид сформулировал Пятый постулат именно так, а не иначе. Ваше толкование вполне можно обсуждать, но именно как дискуссионное, а не ка Единственно Верную Истину. Есть и другие толкования: например, такое: из всех известных ему эквмвалентов Евклид выбрал тот, который имеет финитный и конкретный характер. Например, формулировка Прокла не могла его устроить, так как она включает понятие "параллельный", то есть прямые не пересекаются на сколь угодно большом протяжении. А формулировка "всякая кривая, равноотстоящая от прямой во всех своих точках есть прямая" включает слишком много кванторов общности. И т.д.

LGB 16:54, 25 февраля 2008 (UTC)

Ошибка[править код]

В статье неправда написана: существование описаной окружности — факт из абсолютной геометрии. Исправляю. 87.118.196.98 11:59, 23 февраля 2008 (UTC)

Данный эквивалент я взял на английской версии статьи:
Every triangle can be circumscribed.
Дополнительные источники:

Задача 109. Верно ли, что около любого треугольника можно описать

окружность?

Р е ш е н и е. Если около треугольника можно описать окружность, то по предыдущей задаче она в модели Пуанкаре будет изображаться окружностью, проходящей через вершины треугольника. Поскольку эта окружность может пересекать абсолют, ответ на вопрос задачи отрицательный. Можно, однако, показать, что серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника либо пересекаются в одной точке (в этом случае описанная окружность существует), либо параллельны, либо перпендикулярны одной прямой.

Можете ли Вы аргументированно опровергнуть этих авторов? LGB 14:59, 23 февраля 2008 (UTC)


"Для всякого треугольника существует описанная окружность. Вариант: через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность." - формулировка подразумевает некоторые допущения, предлагаю исправить на более чёткий вариант: "Для всякого невырожденного треугольника существует описанная окружность. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность." Agri 01:34, 22 марта 2008 (UTC)

Правка Aeol[править код]

Я привёл аксиому Прокла, а не Погорелова. В случае предложенной Вами формулировки надо долго и сложно объяснять, почему аксиома Погорелова относится к евклидовой, а не к сферической геометрия (ведь нуль тоже «не более одной»). LGB 13:15, 24 февраля 2008 (UTC)

Философия Канта "сопротивлялась" неевклидовым геометриям?[править код]

User1 17:26, 8 апреля 2008 (UTC)

Статья очень понравилась, но есть 2 замечания. Первое: На сколько я понимаю, Кант считал что не важно, что такое пространство и время, важно лишь то, что без представлений пространства и времени невозможно сформулировать принцип инерции, а тем самым и законы динамики (Ньютона). Проблема пространства и времени, по Канту, является не онтологической, а гносеологической. Иначе говоря, понятия пространства (а следовательно и геометрия) и времени не отражают реальность а вводят структуру языка, на котором мы говорим о законах внешнего мира. Почему о мире нельзя говорить на разных языках, на языке евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского, например, не понятно (геометрия как и вся математика это язык, причем геометрия до Канта считалась разделом физики). Поэтому мне не понятно почему Гаус боялся критики именно со стороны философии Канта. Возможно были другие основания для критики, механика Ньютона например. Из приведенной цитаты не следует что Гаус боялся именно критики со стороны философии Канта.

Фразу о Канте вставил Tosha, я не стал возражать, потому что это одна из возможных версий. Хотя есть и другие, например, нежелание встревать в дурацкий спор с невеждами, который он не мог выиграть. Лично я считаю, что главной причиной, по которой Гаусс ничего не опубликовал по неевклидовой геометрии, был его неизменный принцип: печатать только завершённые работы. А чем завершить изложение альтернативной геометрии, он не знал. Доводов в пользу неевклидовости мира у него не было, не было и устоявшегося представления о конечной цели (он ведь был знаком и с римановой геометрией, тоже вариант).
Не могу согласиться с Вашей фразой "геометрия до Канта считалась разделом физики" - это взгляд Лобачевского, до него такие кощунственные идеи никто и помыслить не смел.
Что касается Канта, то Вы правы, он действительно рассматривал пространство и время вне онтологии, но при этом считал, что экономная евклидова модель намертво встроена в наш аппарат познания, так что представление об альтернативных моделях было ему глубоко чуждо. LGB 06:37, 9 апреля 2008 (UTC)
"геометрия до Канта считалась разделом физики" именно так. Считалось что геометрия изучает законы реального мира, т.е. является частью физики (такой же как оптика или механика) изучающей свойства пространства, которому придавался онтологический статус. Раз пространство реально существует, то и наука изучающая его структуру раздел физики. Т.е. считалось, что в геометрии, например, возможен эксперимент. Можно проверить соответствует ли геометрия реальному миру. Геометрия как-бы обобщает опыт как оптика или законы Ньютона. При этом соответствие геометрии Евклида опыту не подвергалось сомнению, "очевидно мы каждый день ее проверяем и она работает". Кант показал, что пространство как и время не существуют в "реальном мире", эти категории относятся к нашему познанию мира а не к самому миру, т.е. именно Кант лишил геометрию "физического" статуса. Благодаря Лобачевскому стало ясно что существуют альтернативные геометрии и это подтвердило что геометрия не может быть разделом физики. Геометрия является языком т.е. формой знания не несущей самостоятельного содержания. Когда удобно можно использовать геометрию Евклида, когда удобно Лобачевского или Римана в зависимости от этого сложность законов физики будет разная. В оптике мы можем использовать одну геометрию, в механике сплошных сред другую и.т.д. Но мне кажется что первый это понял все же Кант, хотя я не достаточно знаю Канта и могу ошибаться. Будет время постараюсь поискать что он писал по этому поводу.
По поводу того что "экономная евклидова модель намертво встроена в наш аппарат познания", не встречал такого но даже если так и есть, Кант "переместив" геометрию в раздел гносеологии открыл дорогу альтернативным геометриям. User1 14:08, 9 апреля 2008 (UTC)
Вы излагаете взгляды современного человека. Если хотите представить себе состояние умов в начале XIX века, то прочитайте биографию Лобачевского и задайтесь вопросом, почему он встречал такое непонимание:

Лобачевский. LGB 11:21, 12 апреля 2008 (UTC)

Я вствил замечание о Канте, но у меня нет прямых подтверждений. Наверное будет лучше его убрать, что и делаю --Тоша 16:06, 12 апреля 2008 (UTC)

Как вы считаете, уместна ли в этой статье ссылка на теорему Геделя?[править код]

User1 17:40, 8 апреля 2008 (UTC)

Мне кажется уместным сделать из статьи ссылку на первую теорему Геделя о неполноте. Хотя я не знаю является ли система аксиом Евклида достаточно сложной чтобы теорема Геделя "работала", однако пятая аксиома и есть как раз то утверждение о котором говорит теорема. Его нельзя ни доказать ни опровергнуть в рамках остальной теории, значит если рассматреть теорию состоящую из аксиом Евклида без пятой аксиомы то мы сможем добавить к ней как саму пятую аксиому, так и ее отрицание и получить две непротиворечивые абсолютно равноправные теории.

По-моему, Гёделя привлекать не стоит. Аксиоматика Евклида, если взять её в формализации Гильберта, достаточно содержательна, так что теория Гёделя работает. Однако есть два нюанса: (1) геометрия неполна и с пятым постулатом, и без него; (2) ниоткуда не следует, что пятый постулат и есть то самое гёделевское недоказуемое утверждение, этот факт надо доказывать отдельно. А то, что из независимости постулата следует существование двух или более вариантов теории, вытекает из обычной логики, Гёдель тут ни при чём. LGB 07:02, 9 апреля 2008 (UTC)
Я не настаиваю, но... По поводу аргумента (1): Не совсем понял что вы хотели сказать. Согласно теореме Геделя любая достаточно сложная аксиоматическая теория неполна. В этом проявляется фундаментальная ограниченность математики и логики. По поводу аргумента (2) независимость постулата как раз и означает что его нельзя ни доказать ни опровергнуть. А раз так, то пятая аксиома и будет "Геделевским" утверждением (возможно одним из многих для этой теории). Доказательство теоремы Геделя не конструктивно, т.е. утверждая что существуют недоказуемые формулы, теорема Геделя не содержит способов их поиска. Т.е. на мой взгляд некоторая связь между пятой аксиомой и теоремой Геделя есть. P.S. Если вы знаете примеры "Геделевских" формул буду благодарен за наводку. User1 13:43, 9 апреля 2008 (UTC)

Как раз аксиоматика Евклида, в формализации Гильберта является полной разрешимой теорией. Как это не удивительно. Это я так, к слову. А вообще, теоремы Гёделя здесь действительно ни при чём. Хацкер 01:07, 10 апреля 2008 (UTC)

через любые три точки можно провести либо прямую[править код]

через любые три точки можно провести либо прямую - это как?! Homo Computeris 15:54, 21 июня 2008 (UTC)

  • А в чём трудности? Если три точки не лежат на одной прямой, то через них можно провести окружность, а если лежат, то прямую. Одно из двух. LGB 16:09, 21 июня 2008 (UTC)

А ну да. :) Homo Computeris 16:11, 21 июня 2008 (UTC)

Неудачная формулировка[править код]

Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону) расходиться. А верно ли? Сначала они сближаются, потом пересекаются и дальше - расходятся. 195.131.84.219 16:30, 15 июля 2008 (UTC) Роман Петров

  • Заголовки страницы Вы порушили зря, но по существу Вы правы, надо тщательнее формулировать. Сейчас поправлю. LGB 16:40, 15 июля 2008 (UTC)

Если две непересекающиеся прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону) расходиться. Непересекающиеся - это получается параллельные. Они тем более не будут ни сходиться ни расходиться... За заголовки извиняюсь. 195.131.84.202 17:37, 18 июля 2008 (UTC) Роман Петров

Ультрапараллельные в геометрии Лобачевского - могут. infovarius 18:13, 18 июля 2008 (UTC)

геометрия Лобачевского[править код]

Это связано, но не на сталько что бы перетаскивать сюда статью «геометрия Лобачевского». --Тоша 00:28, 20 марта 2010 (UTC)

Не понял, уточни. Геометрия Лобачевского в статье затрагивается постольку, поскольку её развитие исторически вело к доказательству независимости пятого постулата. Лишних деталей вроде бы нет. LGB 11:50, 21 марта 2010 (UTC)

Эквивалентные формулировки[править код]

Прямая, проходящая через точку внутри острого угла, пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Лоренца). Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны.

Извините, а разве в отношении тупых углов это не верно? --Orlexx 01:29, 1 августа 2010 (UTC)

В отношении аксиомы Лоренца Вы правы, она в оригинале не содержала слова «острого», так что я его убрал. А следующий эквивалент V постулата можно формулировать и так, и эдак, это безразлично. В статье выбрана более жёсткая формулировка. LGB 10:36, 1 августа 2010 (UTC)

Непонял[править код]

Обьясните мне пожалуйста последнюю фразу "отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом и доказать его невозможно."

В каком смысле "независем"наобарот зависем ,я ведь могу провести прямые по аксиомам 92.245.51.88 16:41, 12 декабря 2010 (UTC)

О замене одной формулировки в избранной статье[править код]

Вот фрагмент избранной статьи:

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей. -- конец фрагмента.

Предлагаю наведенный фрагмент заменить такой версией:

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

Если секущая двух прямых образует внутренние односторонние углы меньше 180°, то в оной стороне лежит общая точка данных прямых. -- конец версии.

Компактно! Приятно воспринимается на слух! Не рябит в глазах! Полнота сохранена! Строгость по всем меркам соблюдена! Sasha egorov 13:59, 12 января 2011 (UTC)

А такой вариант невозможно превзойти:
Единственной общей точки двух прямых нет в стороне, где их секущая образует внутренние углы больше 180°.
Sasha egorov 18:53, 12 января 2011 (UTC)

две прямых прямых[править код]

Нынешняя формулировка ужасна, как оригинальная, так и современная:

Если [на плоскости] при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то эти прямые

Можно, конечно, догадаться что первые и третьи прямые — это линии, а вторые — это углы, там ещё ссылки есть, но! Это ужасно. Неужели греки тоже прямые линии и прямые углы называли одинаково? Я что-то по греческому оригиналу не вижу... --Nashev 16:50, 7 марта 2013 (UTC)

Увы, так в источниках, см. сноски. Попытка улучшения стиля перевода Евклида была бы справедливо квалифицирована как ВП:ОРИСС. Что касается современной формулировки, то не вижу, чем она плоха — по-моему, вполне доступна старшекласснику. Можно, правда, заменить в ней «два прямых» на 180° (в источнике стоит 2d, но это мелочь). LGB 17:10, 7 марта 2013 (UTC)
ИМХО, это русский язык и неоднозначность, противная математике. 180° в современной формулировке меня более чем устроили бы. Или уточняющие слова "линии" и "углы" после всех "прямых" прилагательных... Исправите «смело»? А вот про греческий оригинал вопрос остаётся открытым. Может, кому другие АИ на этот счёт попадались, с альтернативными переводами?.. --Nashev 17:31, 7 марта 2013 (UTC)
Вставил 180°. Список АИ с переводами Евклида см. в статье Начала Евклида, их не так много. В данной статье приведен последний академический перевод Мордухай-Болтовского. В викитеке есть ещё предыдущий перевод (Петрушевского), там формулировка такая:

Естьли на две прямыя падаетъ третья прямая и делаетъ углы внутренные и по ту же сторону меньше двухъ прямыхъ, то оныя две прямыя линии, продолженныя безпредельно, взаимно встретятся по ту сторону, по которую углы меньше двухъ прямыхъ.

Уверен, что предложение вставить эту формулировку вместо существующей Вас немало повеселит. Более новых, чем Мордухай-Болтовского, увы, нет. LGB 17:55, 7 марта 2013 (UTC)
Да уж... Ну ладно, перевод - так перевод, пусть будет кривым - ему хоть как-то простительно... --Nashev 18:44, 7 марта 2013 (UTC)

Эквидистантность[править код]

А по поводу варианта про эквидистантность параллельной прямой - надо бы всё же как-то про это пораньше сказать, потому что при первом прочтении статьи с лёту не вспоминается, что параллельность - это лишь непересекаемость, а вовсе не эквидистантность прямых сама по себе. А на этот факт в рассуждениях статья опирается. --Nashev 18:44, 7 марта 2013 (UTC)

Я специально в начале списка эквивалентов поместил самые простые, чтобы подготовить читателя к последующим рассуждениям о том, почему Евклид выбрал именно такую формулировку своего постулата. Ваш вариант Евклиду не подходил просто потому, что понятие расстояния ещё не введено, поэтому я передвинул его пониже, к метрическим вариантам. LGB 07:38, 8 марта 2013 (UTC)

По мне уж точно теорема, а не аксиома -- имеется док-во, но кому доверить проверку верности результата не знаю[править код]

Пытаюсь создать новый сайт и разместить анонсируемый результат. Управлюсь- дам ссылку на многих матфорумах. Прошу не нагнетать заранее лишнее, не ознакомившись с работой. — Эта реплика добавлена участником Sasha egorov (о · в)

«Бессмыслица – искать решение, если оно и так есть. Речь идёт о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет» (Братья Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу»). Процитируйте эту мудрость на форумах, когда эти грубые и невежественные люди потребуют доказательств, что Вы умнее всех великих математиков, которые 3000 лет решали данную проблему. LGB 15:57, 18 апреля 2014 (UTC)

Нельзя ли раскрыть пункт?[править код]

«Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, простых и интуитивно очевидных». Мне непонятно, в чём именно виделось отличие. Что они отличны — можно видеть, но я не понимаю, что такое «интуитивная очевидность». В терминах «народной философии», разница состоит в том, что остальные четыре аксиомы носят характер определений (они определяют новые понятия), а последняя больше похожа на утверждение о старых понятиях, чем на введение новых понятий. Но, как известно, «научная философия» (от Парменида, Платона и далее в будущность) на всякое «белое» «народной философии» говорит «чёрное» и наоборот с консистентностью, прямо-таки поражающей, так что было бы интересно видеть, в чём разницу видят учёные. Или, может быть, у них какая-то особая интуиция? Но почему тогда она у них у всех другая, чем у «народников»? Нет, я думаю, есть какие-то более разумные объяснения. Нельзя ли привести их? - 89.110.4.24 15:09, 6 мая 2015 (UTC)

В энциклопедии признаётся только один тип объяснений: ссылка на авторитетные источники (ВП:АИ). Тот факт, что первые 4 постулата интуитивно очевидны, а вот пятый сильно отличается от них — общепризнанное мнение специалистов, отражённое в большинстве источников. См., например, «Историю математики» Юшкевича, том I, стр. 110, подстрочное примечание:

Пятый постулат удивлял ученых сложностью своей формулировки. Он походил более на теорему, чем на постулат. Уже в древности его пытались заменить другим, более очевидным предложением.

Аналогичные оценки вы можете найти в комментариях к изданию «Начал», в книгах Розенфельда, Успенского и др. Обсуждение разумности этого мнения здесь вряд ли уместно, рекомендую перенести его на форум dxdy.ru. LGB 16:21, 6 мая 2015 (UTC)
Вы не поняли. 1). Речь идёт не об обосновании утверждения с целью оправдать его помещение здесь; речь идёт о предъявлении таковых обоснований как значимых дополнений к шапке статьи. 2) Высказанная вами цитата ничего не говорит об интуиции, хотя делает замечание об очевидности. Конечно, всё это поднимает вопрос: если слово «интуиция» использовано в статье, то какой смысл ему придан. Возможно, самое правильное решение — не разбрасываться словами. В таком случае не будет возникать и вопрос об обоснованиях: раз «походит», пусть «походит» (кстати говоря — разве я спорю?), и тогда интуиция и, соответственно, интуитивная очевидность тут ни при чём. - 89.110.26.32 20:45, 6 мая 2015 (UTC)
Между прочим, в процитированной вами биографии Николая Лобачевского содержится, по-видимому, расшифровка того, что неудачливый редактор статьи назвал «интуитивной очевидностью». Цитирую предложение: «для его понимания нужен уже ряд предварительных сведений». (Страница сто шестьдесят шестая). Предыдущий текст эти сведения приводит. Как видно, и здесь нет отсылок к интуиции: ни к бытовой («народной»), ни (по крайней мере, прямым текстом) к философской какого-либо рода. Я бы процитировал или пересказал целый абзац, содержащий это заявление, чтобы сделать шапку понятной: скажем, замечание, которое сейчас в шапке стоит, никак пересказом оного назвать нельзя. Но оставляю всё это дело вам или другому желающему; моё дело — указать недостаток. - 89.110.12.59 00:24, 7 мая 2015 (UTC)
Для справки: имеется в виду биография авторства Кагана. Впрочем, если кто использует (по-настоящему, а не абы как — и без собственных прибавлений, коими замечательна нынешняя версия) другой источник, тоже хорошо. Важно-то одно: to fix this mess… В статье я показал один из способов пофиксить его — самый минималисткий. Хорошо бы ещё в тексте ссылочку на источник поставить, но на какой — решайте сами, не знаю. - 91.122.12.36 11:22, 7 мая 2015 (UTC)

Я так и не понял, чем вам не понравилось слово «интуитивно очевидный», но вопрос не стоит того, чтобы из-за него долго препираться. Пусть будет просто «очевидный». Что касается указания источника, то в Википедии не принято доказывать ссылками тривиальные утверждения. До вас никто не возражал против прежней формулировки. LGB 12:22, 7 мая 2015 (UTC)

Пятый постулат Евклида это теорема.[править код]

В вопросе о пятом постулате сложилась довольно странная ситуация: вроде бы ещё сам Евклид его доказал, точнее сказать, почти доказал. Откройте книжку «Основания геометрии» (А.В. Погорелов) и проанализируйте доказательство теоремы 31, учитывая тот факт, что прямая, перпендикулярная заданной прямой, определяется единственным образом. Cherkasovmy 01:08, 15 декабря 2015 (UTC)Черкасов М.Ю.

Понятие «почти доказательство» в науке не существует. Если бы Евклид считал это утверждение доказанным, то, согласитесь, он не стал бы включать его в число аксиом. Что касается упомянутой вами теоремы 31, то она утверждает, что параллельные линии существуют, и этот факт действительно строго доказан Евклидом. Но вот единственность параллельной прямой, проходящей через заданную точку, отсюда вовсе не следует. У Лобачевского таких прямых бесконечно много. LGB 11:50, 15 декабря 2015 (UTC)

Откат Tosha[править код]

-Тоша откатил мою правку, что само по себе является нарушением правил — откат применяется только против вандальных правок. Привожу точную цитату из источника: «Математика XIX века» А. Н. Колмогорова, том 2, стр. 71:

Хотя Бельтрами не дал формулы для расстояния между двумя произвольными точками и не выяснил, как в его интерпретации изображаются движения плоскости Лобачевского, эта интерпретация Бельтрами явилась первым, правда неполным, доказательством непротиворечивости всей плоскости Лобачевского.

Надеюсь, Колмогоров для вас достаточно авторитетный источник. Проективная группа движения появилась только у Кэли и Клейна, у Бельтрами ничего подобного не было. Уберите откат, в дальнейшем прошу не считать своё личное мнение абсолютной истиной и перед откатом или отменой выходить на обсуждение. LGB (обс) 13:37, 13 июля 2016 (UTC)

Продолжение здесь: Обсуждение:Конформно-евклидова модель--Тоша (обс) 14:23, 13 июля 2016 (UTC)