Ограничение Вейля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ограничение скаляров (известное также как «ограничение Вейля») — это функтор, который для любого конечного расширения поля L/k и любого алгебраического многообразия X над L даёт другое многообразие ResL/kX, определённое над k. Ограничение скаляров полезно для сведения вопросов о многообразиях над большими полями к вопросам о более сложных многообразиях над меньшими полями.

Определение[править | править код]

Пусть L/k будет конечным расширением поля, а X — многообразием, определённым над L. Функтор из k-схемop в множества определяется выражением

(В частности, k-рациональные точки многообразия являются L-рациональными точками многообразия X.) Многообразие, которое представляет этот функтор, называется ограничением скаляров и оно единственно с точностью до изоморфизма, если существует.

С точки зрения пучков множеств ограничение скаляров является просто дифференциалом вдоль морфизма Spec L Spec k и сопряжёно справа расслоенному произведению схем[en], так что вышеприведённое определение можно перефразировать в более общем виде. В частности, можно заменить расширения поля на любой морфизм окольцованных топосов, а предположение о X может быть ослаблено, к примеру, до стеков. Это приводит к более слабому контролю над поведением ограничения скаляров.

Свойства[править | править код]

Для любого конечного расширения поля ограничение скаляров переводит квазипроективное многообразие в квазипроективное многообразие. Размерность получаемого многообразия умножается на степень расширения.

При подходящих условиях (например, плоский, собственный, конечно определённый), любой морфизм алгебраических пространств[en] даёт функтор ограничения скаляров, который переводит алгебраические стеки[en] в алгебраические стеки, сохраняя такие свойства, как стек Артина, стек Делиня — Мамфорда и представимость.

Примеры и приложения[править | править код]

1) Пусть L — конечное расширение поля k степени s. Тогда (Spec L) = Spec(k) и является s-мерным аффинным пространством над Spec k.

2) Если X является аффинным L-многообразием, определённым выражением

мы можем записать как Spec , где yi,j () новые переменные, а gl,r () является многочленом от получаемый выбором k-базиса расширения L и полагая и .

3) Ограничение скаляров над конечным расширением поля переводит групповые схемы[en] в групповые схемы.

В частности:

4) Тор

,

где Gm означает мультипликативную группу, играет существенную роль в теории Ходжа, поскольку таннакиева категория[en] вещественных структур Ходжа эквивалентен категории представлений S. Вещественные точки имеют структуру группы Ли, изоморфную . См. Группа Мамфорда–Тейта[en].

5) Ограничение Вейля (коммутативного) группового многообразия снова является (коммутативным) групповым многообразием размерности , если L сепарабельно над k. Александр Момот применил ограничения Вейля коммутативных групповых многообразий с и с целью получить новые результаты в теории трансцендентности, которая основывалась на увеличении алгебраической размерности.

6) Ограничение скаляров на абелевых многообразиях (например, эллиптических кривых) дают абелевы многообразия, если L сепарабельно над k. Джеймс Миль использовал это для сведения гипотезы Бёрча — Свиннертон-Дайера над абелевыми многообразиями над всеми числовыми полями к той же гипотезе над рациональными числами.

7) В эллиптической криптографии спуск Вейля использует ограничение Вейля для преобразования задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой над конечным расширением поля L/K в задачу дискретного логарифмирования на многообразии Якоби[en] гиперболической кривой[en] над базовым полем K, которую потенциально решить легче ввиду меньшего размера поля K.

Построения Вейля по сравнению с преобразованиями Гринберга[править | править код]

Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не обобщает его, поскольку кольцо векторов Витта на коммутативной алгебре A в общем случае не является A-алгеброй.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]