Структура Ходжа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Структура Ходжа веса , или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки в действительном векторном пространстве и разложения , где , комплексного векторного пространства , которое называется разложением Ходжа. При этом должно выполняться условие , где  — комплексное сопряжённое в .

Иначе, разложение Ходжа можно описать, используя понятие убывающей фильтрации, или фильтрации Ходжа, в такой, что при . Тогда подпространства восстанавливаются по формуле .

Данную структуру в пространстве -мерных когомологий компактного кэлерова многообразия впервые изучил У. Ходж[1].

В этом случае подпространства описываются как пространства гармонических форм типа или как когомологии пучков голоморфных дифференциальных форм[2].

Фильтрация Ходжа в возникает из фильтрации комплекса пучков , -мерные гиперкогомологии которого изоморфны , подкомплексами вида .

Смешанная структура Ходжа[править | править вики-текст]

Более общим понятием является смешанная структура Ходжа — это объект, состоящий из решётки в , возрастающей фильтрации, или фильтрации весов, в и убывающей фильтрации (фильтрации Ходжа) в таких, что на пространстве фильтрации и определяют чистую структуру Ходжа веса .

П. Делинь (P. Deligne) в своей работе[3] рассмотрел смешанные структуры Ходжа в когомологиях комплексного алгебраического многообразия (не обязательно компактного или гладкого) как аналог структуры модуля Галуа в этальных когомологиях.

Структуры Ходжа имеют важные приложения в алгебраической геометрии в теории отображений периодов и в теории особенностей гладких отображений[4].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Hodge W. V. D. Tho theorie and applications of harmonic integrals. — 2 ed. — Cambridge, 1952.
  2. Гриффитс, Ф., Харрис, Дж. Принципы алгебраической геометрии / Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — Т. 1. — 518 с.
  3. Deligne P. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, 1974). — 1975. — v. 1. — p. 70—85.
  4. Варченко А. Н. Современные проблемы математики. — т. 22. — М., 1983. — с. 66—130. — (Итоги науки и техники).