Открытая книга (топология)

Открытая книга — разложение замкнутого 3-мерного многообразия в объединение поверхностей (страниц книги) с общим краем краем (корешком книги).

Определение

Открытая книга 3-мерного многообразия $M$ — это пара $(B,\pi )$, где

• $B$ — ориентированное зацепление в $M$, называемое корешком книги;
• $\pi \colon M\backslash B\to \mathbb {S} ^{1}$ — расслоение дополнения корешка, что для каждого $\theta \in \mathbb {S} ^{1}$, $\pi ^{-1}(\theta )$ является внутренностью компактной поверхности $\Sigma$ в $M$ с границей $B$. Поверхность $\Sigma$ называется страницей книги.

Свойства

• Всякое связное замкнутое трёхмерное многообразие может быть представлено как открытая книга со страницами, гомеоморфными (если многообразие ориентировано) диску с дырами или (если многообразие неориентировано) ленте Мёбиуса с дырами.

• Теорема Жиру. Пусть М — компактное ориентированное 3-мерное многообразие. Тогда существует биекция между множеством ориентированных контактных структур на М с точностью до изотопии и множества открытых книг на М с точностью до положительной стабилизации.
  • Положительная стабилизация включает изменение страницы путем добавления 2-мерной 1-ручки и изменения монодромии путем добавления положительного скручивания Дена по кривой, которая проходит над ручкой ровно один раз.

Ссылки

• Etnyre, John B. Lectures on open book decompositions and contact structures, arXiv:math.SG/0409402