Парадокс Кантора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Парадо́кс Ка́нтора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка[править | править вики-текст]

Предположим, что множество всех множеств существует. В этом случае справедливо , то есть всякое множество является подмножеством . Но из этого следует  — мощность любого множества не превосходит мощности .

Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для , как и любого множества, существует множество всех подмножеств , и по теореме Кантора , что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что для любой формулы , не содержащей свободно.

Другая формулировка[править | править вики-текст]

Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно . Тогда по теореме Кантора .

Выводы[править | править вики-текст]

Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 года, обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 года) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой .

См. также[править | править вики-текст]