Аксиома степени

Аксиома степени — аксиома теории множеств, согласно которой на основе любого множества можно образовать множество его подмножеств, то есть такое множество $d$, которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств $b$ данного множества $a$. В символьном виде эта аксиома записывается так:

$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)\ )$

Аксиома степени задаёт тип множеств (подмножества множества $a$), которые должны быть элементами образуемого множества $d$. Вместе с тем она не указывает алгоритма нахождения всех элементов образуемого множества $d$.

Аксиому степени можно вывести из следующих высказываний:

• $\exists d\forall b\ (b\subseteq a\to b\in d)$

• $\forall d\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in d\land b\subseteq a)$

Первое из этих высказываний — одно из следствий аксиомы степени, а второе — одна из конкретизаций схемы выделения.

Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность множества всех подмножеств для каждого множества $a$. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома степени равносильна высказыванию

$\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$, что есть $\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\}\quad \land \quad \forall d'\ (d'\neq d\to d'\neq \{b:b\subseteq a\})\ )$.

Альтернативные формулировки аксиомы

$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$, где $b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)$

$\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\})$

$\forall a\exists d\forall b\ (b\notin d\leftrightarrow \exists c\ (c\in b\land c\notin a))$

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Множество всех подмножеств