Поверхность Макбита

Поверхность Макбита, кривая Макбита или кривая Фрикке — Макбита, — это поверхность Гурвица рода 7.

Свойства

• Группой автоморфизмов поверхности Макбита является простая группа PSL(2,8), состоящая из 504 симметрий.

Построение треугольной группы

Фуксову группу поверхности можно построить как главную конгруэнц-подгруппу треугольной группы (2,3,7) в подходящей башне главных конгруэнц-подгрупп. Выбор алгебры кватернионов и порядок кватернионов Гурвица описан на странице треугольных групп. Если выбрать идеал $\langle 2\rangle$ в кольце целых чисел, соответствующая главная конгруэнц-подгруппа определяет эту поверхность рода 7. Её систола примерно равна 5.796, а число систолических петель, согласно вычислениям Р. Фогелера, равно 126.

История

Эта поверхность первоначально была открыта Робертом Фрикке , но названа именем Александера Мюррея Макбита после независимого открытия им позже той же кривой . Элкис пишет, что на эквивалентность кривых, которые изучали Фрикке и Макбит, «может быть, впервые обратил внимание Серр в письме Абъянкару от 24 июля 1990 года» .

См. также

• Квартика Клейна
• Первая тройка Гурвица

Литература

• Kevin Berry, Marvin Tretkoff. Curves, Jacobians, and abelian varieties, Amherst, MA, 1990. — Providence, RI: Contemp. Math., 136, Amer. Math. Soc., 1992. — С. 31–40..
• Emilio Bujalance, Antonio F. Costa. Mathematical contributions. — Madrid: Editorial Complutense, 1994. — С. 375–385.
• N. D. Elkies. Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III / Joe P. Buhler. — Springer-Verlag, 1998. — Т. 1423. — (Lecture Notes in Computer Science). — ISBN 3-540-64657-4. — doi:10.1007/BFb0054849..
• R. Fricke. Über eine einfache Gruppe von 504 Operationen // Mathematische Annalen. — 1899. — Т. 52, вып. 2–3. — doi:10.1007/BF01476163..
• R. Gofmann. Weierstrass points on Macbeath's curve // Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh.. — 1989. — Т. 104, вып. 5. — С. 31–33.. Translation in Moscow Univ. Math. Bull. 44 (1989), no. 5, 37-40.
• A. Macbeath. On a curve of genus 7 // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1965. — Т. 15. — doi:10.1112/plms/s3-15.1.527..
• R. Vogeler. On the geometry of Hurwitz surfaces // Florida State University thesis. — 2003..
• K. Wohlfahrt. Macbeath's curve and the modular group // Glasgow Math. J.. — 1985. — Т. 27. — doi:10.1017/S0017089500006212.. Corrigendum, vol. 28, no. 2, 1986, p. 241, .