Группа треугольника (2,3,7)

Группа треугольника (2,3,7) — треугольная группа (группа фон Дика) D(2,3,7) сохраняющих ориентацию отображений. Важный объект в теории римановых поверхностей и геометрии Лобачевского в связи с поверхностями Гурвица, а именно^{[уточнить]} с римановыми поверхностями рода g с максимально высоким возможным порядком группы автоморфизмов, равным 84(g − 1).

Нормальные подгруппы без кручения треугольной группы (2,3,7) являются фуксовыми группами, ассоциированными с поверхностями Гурвица, такими как квартика Клейна, поверхность Макбита и первая тройка Гурвица.

Построения

Гиперболическое построение

Треугольная группа (2,3,7) является группой сохраняющих ориентацию изометрий мозаик из (2,3,7) треугольников Шварца, показанных здесь в проекции на диск Пуанкаре.

Чтобы построить треугольную группу, начнём с гиперболического треугольника с углами π/2, π/3, π/7. Этот треугольник является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и его отражения замощают плоскость путём отражений относительно сторон. Рассмотрим группу, порождённую отражениями относительно сторон треугольника. Эта группа является неевклидовой кристаллографической группой (дискретной подгруппой гиперболических изометрий) с этим треугольником в качестве фундаментальной области. Ассоциированная мозаика является разделённой семиугольной мозаикой порядка 3. Треугольная группа (2,3,7) определяется как подгруппа индекса 2, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий, и является фуксовой группой (сохраняющей ориентацию неевклидовой кристаллографической группой).

Однородные семиугольные/треугольные мозаики
Симметрия: [7,3], (*732)							[7,3]+, (732)
{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	2t{7,3}=t{3,7}	2r{7,3}={3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
Однородные двойственные мозаики
V73	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V37	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Задание группы

Группа может быть задана при помощи пары генераторов, g₂, g₃, со следующими соотношениями:

$g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=1.$

Геометрически эти соотношения соответствуют вращениям на 2π/2, 2π/3 и 2π/7 вокруг вершин треугольника Шварца.

Алгебра кватернионов

Группа треугольников (2,3,7) может быть представлена при помощи группы кватернионов с нормой 1 при подходящем R-порядке в алгебре кватернионов. Конкретнее, группа треугольника является факторгруппой группы кватернионов по её центру ±1.

Пусть η = 2cos(2π/7). Тогда из равенства

$(2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2}.$

видим, что Q(η) является полностью вещественным кубическим расширением Q. Гиперболическая группа треугольника (2,3,7) является подгруппой группы элементов алгебры кватернионов с нормой 1, образованной как ассоциативная алгебра парой генераторов i и j и отношениями i² = j² = η, ij = −ji. Можно выбрать подходящий порядок кватернионов Гурвица ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ в алгебре кватернионов. Здесь порядок $Q_{\mathrm {Hur} }$ порождается элементами

$g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij$

$g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).$

Фактически порядок является свободным Z[η]-модулем над базисом $1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}$. Генераторы удовлетворяют условиям

$g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,$

которые сводятся к соотношениям в треугольной группе после взятия факторгруппы по центру.

Связь с SL(2,R)

Визуализация отображения (2,3,∞) → (2,3,7) путём трансформации связанных мозаик.

Расширив скаляры из Q(η) в R (путём стандартного вложения), получим изоморфизм между алгеброй кватернионов и алгеброй M(2,R) вещественных 2 х 2 матриц. Выбор конкретного изоморфизма позволяет показать группу треугольника (2,3,7) как частный случай фуксовой группы в SL(2,R), а именно как факторгруппу модулярной группы. Это можно визиуализировать с помощью ассоциированных мозаик, как представлено справа на рисунке — мозаика (2,3,7) диска Пуанкаре является факторпространством модулярной мозаики верхнего полупространства.

Однако для многих целей нет необходимости в явном задании изоморфизма. Так, следы элементов группы (а следовательно, расстояние перемещения гиперболических элементов в верхней полуплоскости, как и систолы фуксовых подгрупп) можно вычислить с помощью сокращённых следов в алгебре кватернионов по формуле

$\operatorname {tr} (\gamma )=2\cosh(\ell _{\gamma }/2).$

Литература

• I. Reiner. Maximum order. — Oxford: Clarendon Press, 2003. — Т. 28 (переиздание). — (London Mathematical Society Monographs New Series).
• N. D. Elkies. Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III / Joe P. Buhler. — Springer-Verlag, 1998. — Т. 1423. — (Lecture Notes in Computer Science). — ISBN 3-540-64657-4. — doi:10.1007/BFb0054849.
• M. Katz, M. Schaps, U. Vishne. Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups // J. Differential Geom.. — 2007. — Т. 76, вып. 3. — С. 399–422.