Касательное пространство
Касательное пространство к гладкому многообразию в точке — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к в точке обычно обозначается или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто .
Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.
Касательное пространство в точке к подмногообразию определяется аналогично.
В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.
Определения
[править | править код]Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентности гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.
Как класс эквивалентности гладких кривых
[править | править код]Пусть — гладкое многообразие и . Рассмотрим класс гладких кривых таких, что . Введём на отношение эквивалентности: если
в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей .
Элементы касательного пространства определяются как -классы эквивалентности ; то есть
- .
В карте такой, что соответствует началу координат, кривые из можно складывать и умножать на число следующим образом
При этом результат остаётся в .
Эти операции продолжаются до классов эквивалентности . Более того, индуцированные на операции уже не зависят от выбора карты. Так на определяется структура векторного пространства.
Через дифференцирование в точке
[править | править код]Пусть — -гладкое многообразие. Тогда касательным пространством к многообразию в точке называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов сопоставляющих каждой гладкой функции число и удовлетворяющих следующим двум условиям:
- -линейность:
- правило Лейбница:
На множестве всех дифференцирований в точке возникает естественная структура линейного пространства:
Замечания
[править | править код]- В случае -гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство
- если
- в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей .
- В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.
- Пусть . Тогда правило Лейбница и условие линейности оператора выполняются для . Это позволяет идентифицировать касательные пространства, получаемые в первом и во втором определениях.
Свойства
[править | править код]- Касательное пространство -мерного гладкого многообразия является -мерным векторным пространством
- Для выбранной локальной карты , операторы дифференцирования по :
- представляют собой базис , называемый голономным базисом.
Связанные определения
[править | править код]- Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.
Вариации и обобщения
[править | править код]Алгебраическое касательное пространство
[править | править код]Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для -дифференцируемых многообразий, ). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).
Пусть — -дифференцируемое многообразие, — кольцо дифференцируемых функций из в . Рассмотрим кольцо ростков функций в точке и каноническую проекцию . Обозначим через ядро гомоморфизма колец . Введем на структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма , и будем далее отождествлять и . Имеет место равенство [1]. Обозначим через подалгебру , состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке в каждой карте; обозначим . Заметим, что .
Рассмотрим два векторных пространства:
- — это пространство имеет размерность и совпадает с определённым ранее касательным пространством к в точке ,
- — это пространство изоморфно пространству дифференцирований со значениями в , его называют алгебраическим касательным пространством[2] в точке .
Если , то имеет размерность континуум, а содержит как нетривиальное подпространство; в случае или эти пространства совпадают (и )[3]. В обоих случаях можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований со значениями в , для вектора формула задаёт инъективный гомоморфизм в пространство дифференцирований со значениями в (структура вещественной алгебры на задается аналогично ). При этом в случае получается в точности определение, данное выше.