Постоянная Глейшера — Кинкелина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Постоя́нная Глейшера—Кинкелина (англ. Glaisher–Kinkelin constant) в математике — это вещественное число, обозначаемое A, которое связано с K-функцией и G-функцией Барнса, а также может быть выражено через значение производной дзета-функции Римана \zeta'(-1),

 A = \exp\left({\textstyle{\frac{1}{12}}} - \zeta'(-1)\right) .

Эта постоянная возникает в различных суммах и интегралах — в особенности в тех, где присутствует гамма-функция или дзета-функция Римана.

Численное значение постоянной Глейшера—Кинкелина выражается бесконечной десятичной дробью[1][2]:

A = 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 727 767 688 927 … (последовательность A074962 в OEIS)

Она была названа в честь английского математика Джеймса Уитбреда Ли Глейшера (James Whitbread Lee Glaisher, 1848—1928) и швейцарского математика Германа Кинкелина (Hermann Kinkelin, 1832—1913), которые рассматривали её в своих работах[3][4].

Представления через K-функцию и G-функцию Барнса[править | править исходный текст]

Для целых положительных значений аргумента K-функция может быть представлена как

K(n)=\prod_{k=1}^{n-1} k^k

Она связана с G-функцией Барнса, которая для целых положительных значений аргумента может быть представлена как

G(n)=\prod_{k=1}^{n-2}k!=\frac{\left[\Gamma(n)\right]^{n-1}}{K(n)}

где \Gamma(n)гамма-функция, \Gamma(n)=(n-1)!.

Постоянная Глейшера—Кинкелина A может быть определена как предел[5]

A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{K(n+1)}{n^{n^2/2+n/2+1/12} e^{-n^2/4}}

или, соответственно,

A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(2\pi)^{n/2} n^{n^2/2-1/12} e^{-3n^2/4+1/12}}{G(n+1)}.

Связь с дзета-функцией Римана[править | править исходный текст]

Постоянная Глейшера—Кинкелина A связана с производной дзета-функции Римана при некоторых целых значениях аргумента[5][6], в частности,

\zeta^{\prime}(-1)={\textstyle{\frac{1}{12}}}-\ln A
\zeta^{\prime}(2) = - \sum_{k=2}^\infty \frac{\ln k}{k^2} 
= \frac{\pi^2}{6}\left[\gamma+\ln(2\pi)-12\ln A \right]

где \gammaпостоянная Эйлера—Маскерони.

Некоторые интегралы и суммы[править | править исходный текст]

Постоянная Глейшера—Кинкелина появляется в некоторых определённых интегралах[5],

\int_0^{1/2} \ln\Gamma(x)\; {\rm d}x={\textstyle{\frac{3}{2}}} \ln A+{\textstyle{\frac{5}{24}}} \ln 2+{\textstyle{\frac{1}{4}}} \ln \pi,
\int_0^\infty \frac{x \ln x}{e^{2 \pi x}-1}\; {\rm d}x={\textstyle{\frac{1}{2}}} \zeta^{\prime}(-1)={\textstyle{\frac{1}{24}}}-{\textstyle{\frac{1}{2}}}\ln A

Также эта постоянная может быть представлена в виде суммы[7][8], которая следует из представления для дзета-функции Римана, полученного Гельмутом Хассе (Helmut Hasse),

\ln A={\textstyle{\frac{1}{8}}}-{\textstyle{\frac{1}{2}}} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n \left(-1\right)^k \binom{n}{k} \left(k+1\right)^2 \ln(k+1),

где {\textstyle{\binom{n}{k}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}биномиальный коэффициент.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Fredrik Johansson et al. 20,000 digits of the Glaisher-Kinkelin constant A = exp(1/12 - zeta'(-1)) (англ.) (HTML). mpmath.googlecode.com. Проверено 11 сентября 2012. Архивировано из первоисточника 31 октября 2012.
  2. A074962 — Decimal expansion of Glaisher-Kinkelin constant A (англ.) (HTML). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), oeis.org. Проверено 11 сентября 2012. Архивировано из первоисточника 31 октября 2012.
  3. Hermann Kinkelin, "Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung", Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, S. 122–138
  4. J. W. L. Glaisher, "On the Product 1¹.2².3³...nⁿ", The Messenger of Mathematics 7, 1878, p. 43–47
  5. 1 2 3 Weisstein, Eric W. Glaisher–Kinkelin Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  7. Jesus Guillera and Jonathan Sondow (2005), "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent", arΧiv:math.NT/0506319 
  8. Jesus Guillera and Jonathan Sondow (2008). «Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent». Ramanujan Journal 16: 247–270. DOI:10.1007/s11139-007-9102-0.

Ссылки[править | править исходный текст]