Десятичная дробь

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

где

 — знак дроби: либо , либо ,
 — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (стандарт стран СНГ)[1],
 — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Примеры:

  • (конечная десятичная дробь)
  • Представление числа в виде бесконечной десятичной дроби:

Значением десятичной дроби является действительное число

равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид

что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Конечные и бесконечные десятичные дроби[править | править вики-текст]

Конечные дроби[править | править вики-текст]

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

В соответствии с определением эта дробь представляет число

Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида , знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число вида , где  — целое, а  — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь привести к несократимому виду, её знаменатель будет иметь вид . Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.

Теорема. Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью знаменатель не имеет простых делителей, отличных от и .

Бесконечные дроби[править | править вики-текст]

Бесконечная десятичная дробь

представляет, согласно определению, действительное число

Этот ряд сходится, каковы бы ни были целое неотрицательное и десятичные цифры . Это предложение вытекает из того факта, что данный ряд мажорируется сходящимся рядом

Представление действительных чисел десятичными дробями[править | править вики-текст]

Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:

  1. Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
  2. Единственно ли такое представление?
  3. Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?

Эти вопросы освещаются ниже.

Алгоритм разложения числа в десятичную дробь[править | править вики-текст]

Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай . Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок , который содержит точку ; в частном случае, когда точка является концом двух соседних отрезков, в качестве выберем правый отрезок.

Числовая прямая, разделенная целочисленными точками.png

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка , через , то можно записать:

На следующем шаге разделим отрезок на десять равных частей точками

и рассмотрим тот из отрезков длины , на котором лежит точка ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

Построение десятичного представления числа, этап 1.png

Обозначим этот отрезок . Он имеет вид:

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки .

На очередном шаге, имея отрезок , содержащий точку , мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок , на котором лежит точка ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков вида

где  — целое неотрицательное, а  — целые числа, удовлетворяющие неравенству .

Построенная последовательность отрезков обладает следующими свойствами:

  • Отрезки последовательно вложены друг в друга:
  • Длина отрезков
  • Точка принадлежит всем отрезкам последовательности

Из этих условий следует, что есть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при , а точка есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть

при

Это значит, что ряд

сходится к числу , и таким образом, десятичная дробь

является представлением числа . Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа в десятичную дробь.

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид

Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

нулевые слагаемые, получим, что число также может быть представлено конечной десятичной дробью

Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного . В случае отрицательного , в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

О роли аксиомы Архимеда[править | править вики-текст]

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое , такое, что действительное число находится между и следующим целым :

Однако существование такого целого числа надо еще доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое , всегда имеет место неравенство . Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число , всегда найдётся целое такое, что . Теперь среди чисел возьмём наименьшее, обладающее свойством . Тогда

Искомое число найдено: .

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности :

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число , последовательность натуральных чисел превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого имеет место неравенство

то последовательность также превзойдёт , начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что .

Неоднозначность представления в виде десятичной дроби[править | править вики-текст]

С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Рассмотрим например, десятичную дробь

Согласно определению, эта дробь является представлением числа . Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби .

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

и

где , представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученными приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей и .

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число , не представимое в виде , где  — целое,  — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если , то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на . Число может быть представлено дробями вида , а также дробями вида .

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на , получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

Лишние нули и погрешность[править | править вики-текст]

Следует отметить, что, с точки зрения погрешности, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна плюс-минус половине[источник не указан 1985 дней] единицы последнего написанного разряда. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна ±0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна ±0,0005. Другие примеры:

  • «25» — абсолютная погрешность равна ±0,5 (также, такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
  • «25,0» — абсолютная погрешность равна ±0,05;
  • «25,00» — абсолютная погрешность равна ±0,005 .

Периодические десятичные дроби[править | править вики-текст]

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

Такую дробь принято кратко записывать в виде

Повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь является чистой периодической, а дробь  — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби знаменатель не имеет простых делителей и , а также рациональным числам , у которых знаменатель имеет только простые делители и . Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям , знаменатель которых имеет как простые делители или , так и отличные от них.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную[править | править вики-текст]

Предположим, что дана периодическая десятичная дробь с периодом 4. Заметим, что домножив её на , получим большую дробь с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть, получаем[2]:

Произношение десятичных дробей[править | править вики-текст]

В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т. д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т. д.).

Например: 5,45 — пять целых, сорок пять сотых.

Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по степеням тысячи. Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.

Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.

Например: 5,45 — пять и сорок пять; (пять-сорок пять).

Для периодических десятичных дробей произносят часть числа до периода (выраженную целым числом в случае чистой периодической дроби или конечной десятичной дробью в случае смешанной периодической дроби), а затем добавляют число в периоде. Например: 0,1(23) — ноль целых, одна десятая и двадцать три в периоде; 2,(6) — две целых и шесть в периоде.

История[править | править вики-текст]

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[3].

Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше[4]

В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы Региомонтана (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать Виет. но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585)[5].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Знак запятой «» — десятичная запятая (англ. decimal comma) — как разделитель целой и дробной частей десятичной дроби принят в России, европейских странах (кроме Великобритании и Ирландии) и многих других странах, на которые они имели культурное влияние. В англоязычных странах и странах, на которые они имели влияние, для этого используется знак точки «» — десятичная точка (англ. decimal point), а знак запятой используется для группировки цифр целой части числа по три десятичных разряда (так называемый разделитель групп разрядов, в России для этого используется знак неразрывного пробела « »). Например, дробь в десятичной записи в российском стандарте будет выглядеть так: , а в английском стандарте так: . Подробнее см. Десятичный разделитель.
  2. Энциклопедия для детей. — М.: Аванта+, 2001. — Т. 11. Математика. — ISBN 5-8483-0015-1., страница 179
  3. Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.
  4. Berggren J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton: Princeton University Press, 2007. — С. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9.
  5. Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джон Непер, 1550—1617. — М.: Наука, 1980. — С. 197—204. — 226 с. — (Научно-биографическая литература).

Ссылки[править | править вики-текст]