Постоянная Голомба — Дикмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике константа Голомба-Дикмана появляется при исследовании случайных перестановок и в теории чисел. Константа равна

Определения[править | править вики-текст]

Пусть an – средняя длина наиболее длинного цикла перестановки, взятая по всем перестановкам множества из n элементов. Тогда константа Голомба-Дикмана равна

На языке теории вероятностей является асимптотой ожидания длины наиболее длинного цикла равномерно распределённых случайных перестановок множества из n элементов.

В теории чисел константа Голомба-Дикмана появляется в связи со средним значением наибольшего простого делителя целого числа. Точнее,

где – наибольший простой делитель числа k. Таким образом, если kd-значное десятичное целое, то является асимптотой среднего числа знаков в наибольшем простом делителе k.

Константа Голомба-Дикмана появляется в теории чисел и другим путём. Какова вероятность того, что второй по величине простой делитель числа n меньше квадратного корня из наибольшего простого делителя n? Асимптотически эта вероятность равна . Точнее,

где – второй по величине простой делитель n.

Формулы[править | править вики-текст]

Существует несколько представлений . А именно,

,

где (также используется обозначение ) — модифицированная интегральная показательная функция,

и

где – это функция Дикмана.

Приложения[править | править вики-текст]

Аналогичный результат возникает в проблеме ста заключенных в статистике случайных перестановок: асимптотически доля перестановок с циклом длины больше n/2 равна .

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]