Функция Дикмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
График функции Дикмана—де Брёйна ρ(u) на логарифмической шкале. Горизонтальная ось — аргумент u, а вертикальная — значение функции. График выглядит на логарифмической шкале почти как прямая, что показывает квазилинейность логарифма функции.

В аналитической теории чисел функцией Дикмана (другое название — функция Дикмана—де Брёйна) ρ называется специальная функция, используемая для оценки числа гладких чисел для заданной границы. Впервые функция появилась у Карла Дикмана, в его единственной статье, посвященной математике,[1] Позже функция была изучена датским математиком Николасом де Брёйном.[2][3]

Определение[править | править код]

Функция Дикмана—де Брёйна — это непрерывная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению со сдвигом

с начальными условиями для 0 ≤ u ≤ 1.

Дикман, основываясь на эвристических соображениях, показал, что

где — число y-гладких целых, меньших  x.

В. Рамасвами (V. Ramaswami) позднее дал строгое доказательство, что

в нотации О большое.[4]

Приложения[править | править код]

Основное приложение функция Дикмана-де Брёйна находит в оценке частоты появления гладких целых в заданных границах. Функция может быть использована для оптимизации различных теоретико-числовых алгоритмов, хотя и сама по себе она интересна.

Используя , можно показать, что [5]

,

что связано с оценкой , приведенной ниже.

Постоянная Голомба—Дикмана имеет альтернативное определение в терминах функции Дикмана—де Брёйна.

Оценка[править | править код]

Простым приближением может служить Лучшую оценку дает [6]

,

где Ei – интегральная показательная функция, а ξ – положительный корень уравнения

Простую верхнюю оценку дает

1 1
2 3.0685282·10-1
3 4.8608388·10-2
4 4.9109256·10-3
5 3.5472470·10-4
6 1.9649696·10-5
7 8.7456700·10-7
8 3.2320693·10-8
9 1.0162483·10-9
10 2.7701718·10-11

Вычисление[править | править код]

Для каждого интервала [n − 1, n] с целым n существует аналитическая функция , такая, что . Для 0 ≤ u ≤ 1, . Для 1 ≤ u ≤ 2, . Для 2 ≤ u ≤ 3,

,

где Li2дилогарифм. Остальные могут быть вычислены, используя бесконечные ряды.[7]

Альтернативным методом вычисления может служить определение верхней и нижней границ методом трапеций.[6] [8]

Расширение[править | править код]

Бах и Перальта определили двумерный аналог функции .[7] Эта функция используется для оценки функции , аналогичной функции де Брёйна, но учитывающей число y-гладких целых чисел с хотя бы одним простым множителем, большим z. Тогда

Ссылки[править | править код]

  1. Dickman, K. (1930). «On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude». Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik 22A (10): 1–14.
  2. de Bruijn, N. G. (1951). «On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y». Indagationes Mathematicae 13: 50–60.
  3. de Bruijn, N. G. (1966). «On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y, II». Indagationes Mathematicae 28: 239–247.
  4. Ramaswami, V. (1949). «On the number of positive integers less than and free of prime divisors greater than xc». Bulletin of the American Mathematical Society 55: 1122–1127.
  5. Hildebrand, A. (1993). «Integers without large prime factors». Journal de théorie des nombres de Bordeaux 5 (2): 411–484.
  6. 1 2 van de Lune, J. (1969). «On the Numerical Solution of a Differential-Difference Equation Arising in Analytic Number Theory». Mathematics of Computation 23 (106): 417–421. DOI:10.1090/S0025-5718-1969-0247789-3.
  7. 1 2 Bach, Eric (1996). «Asymptotic Semismoothness Probabilities». Mathematics of Computation 65 (216): 1701–1715. DOI:10.1090/S0025-5718-96-00775-2.
  8. Marsaglia, George (1989). «Numerical Solution of Some Classical Differential-Difference Equations». Mathematics of Computation 53 (187): 191–201. DOI:10.1090/S0025-5718-1989-0969490-3.

Внешние ссылки[править | править код]

  • Broadhurst, David (2010), "Dickman polylogarithms and their constants", arΧiv:1004.0519 
  • Soundararajan, K. (2010), "An asymptotic expansion related to the Dickman function", arΧiv:1005.3494