Функция Дикмана

График функции Дикмана—де Брёйна ρ(u) на логарифмической шкале. Горизонтальная ось — аргумент u, а вертикальная — значение функции. График выглядит на логарифмической шкале почти как прямая, что показывает квазилинейность логарифма функции.

В аналитической теории чисел функцией Дикмана (другое название — функция Дикмана — де Брёйна) ρ называется специальная функция, используемая для оценки числа гладких чисел для заданной границы. Впервые функция появилась у Карла Дикмана, в его единственной статье, посвященной математике. Позже функция была изучена датским математиком Николасом де Брёйном.

Определение

Функция Дикмана — де Брёйна $\rho (u)$ — это непрерывная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению со сдвигом

$u\rho '(u)+\rho (u-1)=0$

с начальными условиями $\rho (u)=1$ для 0 ≤ u ≤ 1.

Дикман, основываясь на эвристических соображениях, показал, что

$\Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)$

где $\Psi (x,y)$ — число y-гладких целых, меньших  x.

В. Рамасвами (V. Ramaswami) позднее дал строгое доказательство, что

$\Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x)$

в нотации О большое.

Приложения

Основное приложение функция Дикмана-де Брёйна находит в оценке частоты появления гладких целых в заданных границах. Функция может быть использована для оптимизации различных теоретико-числовых алгоритмов, хотя и сама по себе она интересна.

Используя $\log \rho$, можно показать, что

$\Psi (x,y)=xu^{O(-u)}$,

что связано с оценкой $\rho (u)\approx u^{-u}$, приведенной ниже.

Постоянная Голомба — Дикмана имеет альтернативное определение в терминах функции Дикмана — де Брёйна.

Оценка

Простым приближением может служить $\rho (u)\approx u^{-u}.$ Лучшую оценку даёт

$\rho (u)\sim {\frac {1}{\xi {\sqrt {2\pi u}}}}\cdot \exp(-u\xi +\operatorname {Ei} (\xi ))$,

где Ei — интегральная показательная функция, а ξ — положительный корень уравнения

$e^{\xi }-1=u\xi .$

Простую верхнюю оценку дает $\rho (x)\leq 1/x!.$

$u$	$\rho (u)$
1	1
2	3.0685282⋅10-1
3	4.8608388⋅10-2
4	4.9109256⋅10-3
5	3.5472470⋅10-4
6	1.9649696⋅10-5
7	8.7456700⋅10-7
8	3.2320693⋅10-8
9	1.0162483⋅10-9
10	2.7701718⋅10-11

Вычисление

Для каждого интервала [n − 1, n] с целым n существует аналитическая функция $\rho _{n}$, такая, что $\rho _{n}(u)=\rho (u)$. Для 0 ≤ u ≤ 1, $\rho (u)=1$. Для 1 ≤ u ≤ 2, $\rho (u)=1-\log u$. Для 2 ≤ u ≤ 3,

$\rho (u)=1-(1-\log(u-1))\log(u)+\operatorname {Li} _{2}(1-u)+{\frac {\pi ^{2}}{12}}$,

где Li₂ — дилогарифм. Остальные $\rho _{n}$ могут быть вычислены, используя бесконечные ряды.

Альтернативным методом вычисления может служить определение верхней и нижней границ методом трапеций.

Расширение

Бах и Перальта определили двумерный аналог $\sigma (u,v)$ функции $\rho (u)$. Эта функция используется для оценки функции $\Psi (x,y,z)$, аналогичной функции де Брёйна, но учитывающей число y-гладких целых чисел с хотя бы одним простым множителем, большим z. Тогда

$\Psi (x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma (b,a).$

Внешние ссылки

• Broadhurst, David (2010). "Dickman polylogarithms and their constants". arXiv:1004.0519.
• Soundararajan, K. (2010). "An asymptotic expansion related to the Dickman function". arXiv:1005.3494.
• Weisstein, Eric W. Dickman function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.