Постулат Бертрана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Постулат Бертрана, теорема Бертрана — Чебышёва или теорема Чебышёва гласит, что

Для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.

Постулат Бертрана был сформулирован в качестве гипотезы в 1845 году французским математиком Бертраном (проверившим её до n = 3 000 000) и доказан в 1852 году[1] Чебышёвым. Рамануджан в 1919 году нашёл более простое доказательство и доказал, что число простых чисел в интервале n < p < 2n является неубывающей последовательностью, которая стремится к бесконечности. Эрдёш в 1932 году ещё более упростил доказательство.

Обобщения[править | править код]

Обобщением постулата Бертрана можно считать теорему о том, что для среди чисел всегда существует число с простым делителем больше . Это утверждение было доказано Сильвестром в 1892 году. При оно даёт гипотезу Бертрана как частный случай.

Из теоремы о распределении простых чисел следует, что для любого существует число такое, что для любых существует простое число , удовлетворяющее . Более того, для фиксированного количество простых чисел в этом интервале стремится к бесконечности с ростом [2]. В частности, например, при всегда найдётся простое число между и [3].

Гипотезы[править | править код]

Гипотеза Лежандра гласит, что для любого найдётся простое число в интервале . Гипотеза Оппермана и гипотеза Андрицы задают такой же порядок роста интервала, включающего хотя бы одно простое число.

Наиболее сильной является гипотеза Крамера, которая гласит, что

Все эти гипотезы не доказаны и не опровергнуты.

Доказательство[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  2. G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford University Press, 2008, p. 494.
  3. J. Nagura. On the interval containing at least one prime number // Proceedings of the Japan Academy, Series A. — 1952. — Vol. 28. — P. 177–181. — DOI:10.3792/pja/1195570997.

Литература[править | править код]

  • Простое число // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 262-263. — 352 с.