Постулат Бертрана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Постулат Бертрана, теорема Бертрана — Чебышёва или теорема Чебышёва гласит, что

Для любого натурального n ≥ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.

Постулат Бертрана был сформулирован в качестве гипотезы в 1845 году французским математиком Бертраном (проверившим её до n = 3 000 000) и доказан в 1852 году[1] Чебышёвым. Рамануджан в 1920 году нашёл более простое доказательство, а Эрдёш в 1932 году — ещё более простое.

Обобщения[править | править вики-текст]

Похожая, но недоказанная гипотеза Лежандра гласит, что для любого n ≥ 2 найдётся простое число p в интервале n2 < p < (n+1)2.

Обобщением постулата Бертрана можно считать теорему о том, что для среди чисел всегда существует число с простым делителем больше . Это утверждение было доказано Сильвестром в 1892 году. При оно даёт гипотезу Бертрана как частный случай.

Из теоремы о распределении простых чисел следует, что для любого существует число такое, что для любых существует простое число , удовлетворяющее . Более того, количество простых чисел в этом интервале стремится к бесконечности с ростом [2]. В частности, например, при всегда найдётся простое число между и [3].

Доказательство[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  2. G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford University Press, 2008, p. 494.
  3. J. Nagura. On the interval containing at least one prime number // Proceedings of the Japan Academy, Series A. — 1952. — Vol. 28. — P. 177–181. — DOI:10.3792/pja/1195570997.

Литература[править | править вики-текст]

  • Простое число // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 262-263. — 352 с.