Проективная прямая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых (одномерных подпространств) в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат . Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.

Примеры[править | править код]

Вещественная проективная прямая с пучком гладких функций является гладким многообразием. Это многообразие диффеоморфно окружности . Комплексная проективная прямая  — сфера Римана, — как вещественное многообразие, диффеоморфна двумерной сфере . Для тела кватернионов проективная прямая, как вещественное многообразие, .

Действие групп на проективной прямой[править | править код]

Для групп и др. может быть определено действие на проективной прямой. Факторизуя по группе скалярных матриц, получаем группы , для которых это действие является точным. Для конечного поля изоморфна некоторой подгруппе конечной симметрической группы[1].

В алгебраической геометрии[править | править код]

Проективная прямая является важным примером проективного многообразия. Полем функций проективной прямой является поле рациональных функций. Группой автоморфизмов поля является группа . Если невырожденная квадратичная кривая содержит хотя бы одну точку, то она бирационально изоморфна проективной прямой.

Примечания[править | править код]

  1. Богопольский О.В. Введение в теорию групп. — 2002.

Литература[править | править код]

  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: Наука 1986.
  • Математическая энциклопедия, 1984, том 4, стр.671, статья Проективная прямая.
  • Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия — М.: Мир, 1981.