Гладкое многообразие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки найдется её окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства , то X называется локальным евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности n. Пара , где  — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X в точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор n действительных чисел , которые называются координатами в карте . Множество карт называется n-мерным  — атласом многообразия X, если:

  • совокупность всех покрывает X,
  • для любых таких, что , отображение:
является гладким отображением класса ; является отображением, с отличным от нуля якобианом и называется преобразованием координат точки х с карты в карту

Два -атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует -атлас. Совокупность -атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые -структурами, при  — дифференциальными (или гладкими) структурами, при k = a — аналитическими структурами.

Топологическое многообразие X, наделенное -структурой, называется -гладким многообразием.

Комплексные многообразия[править | править вики-текст]

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства более общих пространств или даже , где  — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) -структуры () и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры[править | править вики-текст]

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней -структура, и на -многообразии,, — -структура, если . Наоборот, любое паракомпактное -многообразие, , можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что -многообразие нельзя наделить -структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например число θ(n) -неизоморфных -структур на n-мерной сфере равно:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
θ(n) 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1

Отображение[править | править вики-текст]

Пусть  — непрерывное отображение -многообразий X, Y; оно называется -морфизмом (или -отображением, , или отображением класса ) гладких многообразий, если для любой пары карт на X и на Y такой, что и отображение:

принадлежит классу . Биективное отображение f, если оно и f−1 является -отображениями, называется -изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае X и Y и их -структуры называются -изоморфными.

Подмножества и вложения[править | править вики-текст]

Подмножество Y n-мерного -многообразия X называется -подмногообразием размерности m в X, если для произвольной точки существуют её окрестность и карта -структуры X, такие, что и индуцирует гомеоморфизм V на пересечении с (замкнутым) подпространством ; иными словами, существует карта с координатами , такая, что определяется соотношениями .

Отображение называется -вложением, если f(X) является -подмногообразием в Y, а  — -диффеоморфизм. Любое n-мерное -многообразие допускает вложение в , а также в Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

Литература[править | править вики-текст]

  • Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
  • Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
  • де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
  • Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
  • Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
  • Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
  • Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
  • Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;