Произведение мер

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Построение[править | править вики-текст]

Пусть  — два пространства с мерами. Тогда  — декартово произведение множеств и .

является семейством подмножеств . Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является -алгеброй. Введём обозначение

— минимальная -алгебра, содержащая . Тогда  — измеримое пространство. Определим на нём меру следующим образом:

Тогда продолжается единственным образом с на :

или

где

 — сечение вдоль , а
 — сечение вдоль .

Получившаяся мера называется произведением мер и . Пространство с мерой называется (прямым) произведением исходных пространств.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Если  — два вероятностных пространства, то называется их произведением.
  • Если  — случайные величины, то  — распределения на и соответственно, а  — распределение на случайного вектора . Если  — независимы, то

Пример[править | править вики-текст]

Мера Лебега на может быть получена как произведение одномерных мер Лебега на :

где обозначает борелевскую -алгебру на пространстве , и

См. также[править | править вики-текст]