Теорема Тонелли — Фубини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть даны два пространства с -конечными мерами . Обозначим через их произведение. Пусть функция интегрируема относительно меры . Тогда

  • функция определена и интегрируема относительно ;
  • функция определена и интегрируема относительно ;
  • имеют место равенства

и

Частные случаи[править | править вики-текст]

Теория вероятностей[править | править вики-текст]

Пусть  — вероятностные пространства, и  — случайная величина на . Тогда

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ[править | править вики-текст]

Пусть функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике , то есть . Тогда

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

Доказательство[править | править вики-текст]

Любое разбиение множества получено некоторыми разбиениями отрезка и отрезка , при этом объём любого прямоугольника определяется , где ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла

и нижних и верхних интегральных сумм функции и :



Тогда при интегрируемости по , то есть равенстве из вышеуказанных оценок интеграл также существует и имеет такое же значение, как и

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]