Пространство состояний (теория управления)

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний.

Определение

Пространство состояний обычно называют фазовым пространством динамической системы, а траекторию движения изображающей точки в этом пространстве — фазовой траекторией.

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

Линейные непрерывные системы

Структурная схема непрерывной линейной системы, описанной в виде переменных состояния

Для случая линейной системы с $p$ входами, $q$ выходами и $n$ переменными состояния описание имеет вид:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)$

где

$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$; $y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$; $u(t)\in \mathbb {R} ^{p}$;

$\operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n$, $\operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p$, $\operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n$, $\operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p$, ${\dot {\mathbf {x} }}(t):={d\mathbf {x} (t) \over dt}$:

$x(\cdot )$ — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы

$y(\cdot )$ — вектор выхода,

$u(\cdot )$ — вектор управления,

$A(\cdot )$ — матрица системы,

$B(\cdot )$ — матрица управления,

$C(\cdot )$ — матрица выхода,

$D(\cdot )$ — матрица прямой связи.

Часто матрица $D(\cdot )$ является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Дискретные системы

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях:

$\mathbf {x} (nT+T)=A(nT)\mathbf {x} (nT)+B(nT)\mathbf {u} (nT)$

$\mathbf {y} (nT)=C(nT)\mathbf {x} (nT)+D(nT)\mathbf {u} (nT)$

Нелинейные системы

Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:

${\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1}(t);\ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t))$

$\vdots$

${\dot {x}}_{n}=f_{n}(x_{1}(t);\ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t))$

или в более компактной форме:

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))$

$\mathbf {y} (t)=\mathbf {h} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))$.

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.

Линеаризация

В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки $(\mathbf {\tilde {x}} ,\mathbf {\tilde {u}} )$. В установившемся режиме $(\mathbf {\tilde {u}} =const)$ для рабочей точки $\mathbf {\tilde {x}} =const,$ справедливо следующее выражение:

$\mathbf {\dot {x}} =\mathbf {f} (\mathbf {\tilde {x}} ,\mathbf {\tilde {u}} )=\mathbf {0}$

Вводя обозначения:

$\delta \mathbf {u} =\mathbf {u} -\mathbf {\tilde {u}}$

$\delta \mathbf {x} =\mathbf {x} -\mathbf {\tilde {x}}$

Разложение уравнения состояния $\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))$ в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:

$\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))\approx \mathbf {f} (\mathbf {\tilde {x}} (t),\mathbf {\tilde {u}} (t))+{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}\delta \mathbf {x} +{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}\delta \mathbf {u}$

При взятии частных производных вектор-функции $\mathbf {f}$ по вектору переменных состояний $\mathbf {x}$ и вектору входных воздействий $\mathbf {u}$ получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:

${\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}$.

Аналогично для функции выхода:

${\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}$

Учитывая $\delta \mathbf {\dot {x}} =\mathbf {\dot {x}} -\mathbf {\dot {\tilde {x}}} =\mathbf {\dot {x}}$, линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:

$\mathbf {\dot {x}}$	$=\mathbf {A} \delta \mathbf {x} +\mathbf {B} \delta \mathbf {u}$
$\delta \mathbf {y}$	$=\mathbf {C} \delta \mathbf {x} +\mathbf {D} \delta \mathbf {u}$

где

$\mathbf {A} ={\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}\quad \mathbf {B} ={\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}\quad \mathbf {C} ={\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}\quad \mathbf {D} ={\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}$.

Примеры

Модель в пространстве состояний для маятника

Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:

$ml{\ddot {\theta }}(t)=-mg\sin \theta (t)-kl{\dot {\theta }}(t)$

где

• $\theta (t)$ — угол отклонения маятника.
• $m$ — приведённая масса маятника
• $g$ — ускорение свободного падения
• $k$ — коэффициент трения в подшипнике подвеса
• $l$ — длина подвеса маятника

В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:

${\dot {x_{1}}}(t)=x_{2}(t)$

${\dot {x_{2}}}(t)=-{\frac {g}{l}}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m}}{x_{2}}(t)$

где

• $x_{1}(t):=\theta (t)$ — угол отклонения маятника
• $x_{2}(t):={\dot {x_{1}}}(t)$ — угловая скорость маятника
• ${\dot {x_{2}}}(t):={\ddot {x_{1}}}(t)$ — угловое ускорение маятника

Запись уравнений состояния в общем виде:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left({\begin{matrix}{\dot {x_{1}}}(t)\\{\dot {x_{2}}}(t)\end{matrix}}\right)=\mathbf {f} (t,x(t))=\left({\begin{matrix}x_{2}(t)\\-{\frac {g}{l}}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m}}{x_{2}}(t)\end{matrix}}\right)$.

Линеаризация модели маятника

Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окрестности точки равновесия $\left({\tilde {x}}_{1}=0\right)$ имеет вид:

${\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}=\left({\begin{matrix}0&\ 1\\-{\frac {g}{l}}\cos {{\tilde {x}}_{1}}&\ -{\frac {k}{m}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0&\ 1\\-{\frac {g}{l}}&\ -{\frac {k}{m}}\end{matrix}}\right)$

При отсутствии трения в подвесе (k = 0) получим уравнение движения математического маятника:

${\ddot {x}}=-{\frac {g}{l}}x$

См. также

• Теория управления
• Фазовое пространство
• Критерий устойчивости в пространстве состояний
• Пространство понятий
• Система отсчёта
• Модальное управление

Литература

• Книги

• Статьи

Ссылки

• Исходные дифференциальные уравнения САР