Угловое ускорение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Угловое ускорение
Единицы измерения
СИ

рад/с2

СГС

рад/с2

Примечания

псевдовектор

Угловое ускорение - псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твердого тела.

Как приходят к понятию углового ускорения: ускорение точки твердого тела при свободном движении[править | править вики-текст]

К понятию углового ускорения можно прийти, рассматривая вычисление ускорения точки твердого тела, совершающего свободное движение. Скорость точки тела при свободном движении, согласно формуле Эйлера, равна

где - скорость точки тела , принятой в качестве полюса; - псевдовектор угловой скорости тела; - вектор, выпущенный из полюса в точку, скорость которой вычисляется. Дифференцируя по времени данное выражение, имеем

где - ускорение полюса ; - псевдовектор углового ускорения. Составляющая ускорения точки , вычисляемая через угловое ускорение называется вращательным ускорением точки вокруг полюса

Последнее слагаемое в полученной формуле, зависящее от угловой скорости, называют осестремительным ускорением ускорением точки вокруг полюса

Геометрический смысл псевдовектора углового ускорения[править | править вики-текст]

Псевдовектор направлен по касательной к годографу угловой скорости. Действительно, рассмотрим два значения вектора угловой скорости, в момент времени и в момент времени . Оценим изменение угловой скорости за рассматриваемый промежуток времени

Angular velocity hodograph.png

Отнесем это изменение к тому промежутку времени, за которое оно произошло

Получившийся вектор называется вектором среднего углового ускорения. Он занимает положение секущей, пересекая годограф вектора угловой скорости в точках и . Перейдем к пределу при

Вектор среднего углового ускорения перейдет в вектор мгновенного углового ускорения и займет положение касательной в точке к годографу угловой скорости.

Выражение вектора углового ускорения через параметры конечного поворота[править | править вики-текст]

При рассмотрении вращения тела через параметры конечного поворота, вектор углового ускорения можно расписать формулой

где - орт, задающий направление оси поворота; - угол, на который совершается поворот вокруг оси .

Угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной оси[править | править вики-текст]

Angular-accleration-and-body-point-acceleration.png

При вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижные точки тела и , производные орта оси вращения равны нулю

В этом случае вектор углового ускорения определяется тривиально через вторую производную угла поворота

или

где - алгебраическая величина углового ускорения. В этом случае псевдовектор углового ускорения, как и угловая скорость, направлен вдоль оси вращения тела. Если первая и вторая производные угла поворота имеют одинаковый знак

то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости совпадают по направлению (тело вращается ускоренно). В противном случае, при , векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны (тело вращается замедленно).

В курсе теоретической механики традиционным является подход, при котором понятие угловой скорости и углового ускорения вводится при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. При этом в качестве закона движения рассматривается зависимость от времени угла поворота тела

В этом случае закон движения точки тела может быть выражен естественным способом, как длина дуги окружности, пройденная точкой при повороте тела от некоторого начального положения

где - расстояние от точки до оси вращения (радиус окружности, по которой движется точка). Дифференцируя последнее соотношение по времени получаем алгебраическую скорость точки

где - алгебраическая величина угловой скорости. Ускорение точки тела при вращении может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорения

причем тангенциальное ускорение получается как производная от алгебраической скорости точки

где - алгебраическая величина углового ускорения. Нормальное ускорение точки тела может быть вычислено по формулам

Выражение псевдовектора углового ускорения через тензор поворота тела[править | править вики-текст]

Если поворот твердого тела задан тензором ранга (линейным оператором), выраженным, например, через параметры конечного поворота

где - символ Кронекера; - тензор Леви-Чивиты, то, псевдовектор углового ускорения может быть вычислен по формуле

где - тензор обратного преобразования, равный

Литература[править | править вики-текст]

  1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики - 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986 - 416 С.
  2. Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: Учебное пособие. - Брянск: БГТУ, 1997. - 197 С.