Угловое ускорение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Угловое ускорение
\boldsymbol \varepsilon=\frac{\mathrm d\boldsymbol\omega}{\mathrm dt} = \boldsymbol \dot \omega
Единицы измерения
СИ

рад/с2

СГС

рад/с2

Примечания

псевдовектор

Угловое ускорение - псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

\vec\varepsilon = \frac{d\vec\omega}{dt}

Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твердого тела.

Как приходят к понятию углового ускорения: ускорение точки твердого тела при свободном движении[править | править вики-текст]

К понятию углового ускорения можно придти, рассматривая вычисление ускорения точки твердого тела, совершающего свободное движение. Скорость точки тела B при свободном движении, согласно формуле Эйлера, равна

\vec v_B = \vec v_A + \vec\omega \times \vec{AB}

где \vec v_A - скорость точки тела A, принятой в качестве полюса; \vec\omega - псевдовектор угловой скорости тела; \vec{AB} - вектор, выпущенный из полюса в точку, скорость которой вычисляется. Дифференцируя по времени данное выражение, имеем

\vec a_B = \frac{d\vec v_B}{dt} = \frac{d\vec v_A}{dt} + \frac{d\vec\omega}{dt} \times \vec{AB} + \vec\omega \times \frac{d\vec{AB}}{dt} = \vec a_A + \vec\varepsilon \times \vec{AB} + \vec\omega \times \left(\vec\omega \times \vec{AB} \right)

где \vec a_A - ускорение полюса A; \vec\varepsilon = \frac{d\vec\omega}{dt} - псевдовектор углового ускорения. Составляющая ускорения точки B, вычисляемая через угловое ускорение называется вращательным ускорением точки B вокруг полюса A

\vec a_{BA}^{\,rot} = \vec\varepsilon \times \vec{AB}

Последнее слагаемое в полученной формуле, зависящее от угловой скорости, называют осестремительным ускорением ускорением точки B вокруг полюса A

\vec a_{BA}^{\,axis} = \vec\omega \times \left(\vec\omega \times \vec{AB} \right)

Геометрический смысл псевдовектора углового ускорения[править | править вики-текст]

Псевдовектор \vec\varepsilon направлен по касательной к годографу угловой скорости. Действительно, рассмотрим два значения вектора угловой скорости, в момент времени t и в момент времени t + \Delta t. Оценим изменение угловой скорости за рассматриваемый промежуток времени \Delta t

Angular velocity hodograph.png

\Delta \vec\omega = \vec\omega(t + \Delta t) - \vec\omega(t)

Отнесем это изменение к тому промежутку времени, за которое оно произошло

\frac{\Delta \vec\omega}{\Delta t} = \vec\varepsilon^{\,\,'}

Получившийся вектор называется вектором среднего углового ускорения. Он занимает положение секущей, пересекая годограф вектора угловой скорости в точках M_0 и M_1. Перейдем к пределу при \Delta t \to 0

\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec\omega}{\Delta t} = \frac{d\vec\omega}{dt} = \vec\varepsilon

Вектор среднего углового ускорения перейдет в вектор мгновенного углового ускорения и займет положение касательной в точке M_0 к годографу угловой скорости.

Выражение вектора углового ускорения через параметры конечного поворота[править | править вики-текст]

При рассмотрении вращения тела через параметры конечного поворота, вектор углового ускорения можно расписать формулой

\vec\varepsilon = \left(1 - \cos\varphi \right)\left(\vec u \times \frac{d^2 \vec u}{dt^2} \right) + \dot\varphi\left(1 + \cos\varphi \right) \frac{d\vec u}{dt} + \dot\varphi \sin\varphi \left(\vec u \times   \frac{d\vec u}{dt}\right) + \sin\varphi \, \frac{d^2 \vec u}{dt^2} + \ddot\varphi \, \vec u

где \vec u - орт, задающий направление оси поворота; \varphi - угол, на который совершается поворот вокруг оси \vec u.

Угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной оси[править | править вики-текст]

Angular-accleration-and-body-point-acceleration.png

При вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижные точки тела O_1 и O_2, производные орта оси вращения равны нулю

\frac{d\vec u}{dt} = \frac{d^2\vec u}{dt^2} = 0

В этом случае вектор углового ускорения определяется тривиально через вторую производную угла поворота

\vec\varepsilon = \ddot\varphi \, \vec u

или

\vec\varepsilon = \varepsilon \, \vec u

где \varepsilon = \ddot\varphi - алгебраическая величина углового ускорения. В этом случае псевдовектор углового ускорения, как и угловая скорость, направлен вдоль оси вращения тела. Если первая и вторая производные угла поворота имеют одинаковый знак

\dot\varphi \, \ddot\varphi > 0

то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости совпадают по направлению (тело вращается ускоренно). В противном случае, при \dot\varphi \, \ddot\varphi < 0, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны (тело вращается замедленно).

В курсе теоретической механики традиционным является подход, при котором понятие угловой скорости и углового ускорения вводится при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. При этом в качестве закона движения рассматривается зависимость от времени угла поворота тела

\varphi = \varphi(t)

В этом случае закон движения точки тела может быть выражен естественным способом, как длина дуги окружности, пройденная точкой при повороте тела от некоторого начального положения \varphi_0 = \varphi(t_0)

s(t) = R \, \left(\varphi(t) - \varphi_0 \right)

где R - расстояние от точки до оси вращения (радиус окружности, по которой движется точка). Дифференцируя последнее соотношение по времени получаем алгебраическую скорость точки

\frac{d s}{dt} = v_\tau = R \, \frac{d\varphi}{dt} = \omega \,  R

где \omega = \frac{d\varphi}{dt} - алгебраическая величина угловой скорости. Ускорение точки тела при вращении может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорения

\vec a_M = \vec a_M^{\,\tau} + \vec a_M^{\,n}

причем тангенциальное ускорение получается как производная от алгебраической скорости точки

a_M^{\,\tau} = \frac{d v_\tau}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \omega \, R \right) = R \, \frac{d\omega}{dt} = \varepsilon \, R

где \varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2 \varphi}{dt^2} - алгебраическая величина углового ускорения. Нормальное ускорение точки тела может быть вычислено по формулам

a_M^{\,n} = \frac{v_\tau^2}{R} = \omega^2 \, R

Выражение псевдовектора углового ускорения через тензор поворота тела[править | править вики-текст]

Если поворот твердого тела задан тензором ранга \left(1, \, 1 \right) (линейным оператором), выраженным, например, через параметры конечного поворота

B_{\,m}^{\,p} = \left(1 - \cos\varphi \right) \, u^{\,p} \, u_{\,m} + \cos\varphi \, \delta_{\,m}^{\,p} + \sin\varphi \, g^{\,pl} \, \epsilon_{\,lkm} \, u^{\,k}

где \delta_{\,m}^{\,p} - символ Кронекера; \epsilon_{\,lkj} - тензор Леви-Чивиты, то, псевдовектор углового ускорения может быть вычислен по формуле

\varepsilon^{\,i} = \frac{1}{2} \, \epsilon^{ikl} \, g_{\,lp} \, \left( B_{\,m}^{'\,p} \, \ddot B_{\,k}^{\,m} + \dot B_{\,m}^{'\,p} \, \dot B_{\,k}^{\,m}  \right)

где B_{\,m}^{'\,p} - тензор обратного преобразования, равный

B_{\,m}^{'\,p} = \left(1 - \cos\varphi \right) \, u^{\,p} \, u_{\,m} + \cos\varphi \, \delta_{\,m}^{\,p} - \sin\varphi \, g^{\,pl} \, \epsilon_{\,lkm} \, u^{\,k}

Литература[править | править вики-текст]

  1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики - 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986 - 416 С.
  2. Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: Учебное пособие. - Брянск: БГТУ, 1997. - 197 С.