Ряд подгрупп

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Ряды подгрупп»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике ряд подгрупп — это цепь подгрупп вида . Ряды подгрупп могут упростить изучение группы сводя его к изучению подгрупп этой группы и к изучению взаимосвязей между ними. Ряды подгрупп могут формировать важные инварианты заданной группы .

Определение[править | править код]

Нормальный ряд, субнормальный ряд[править | править код]

Субнормальный ряд (называемый также субнормальной башней, субинвариантным рядом, субнормальной матрёшкой или просто рядом) группы  — это последовательность подгрупп

каждая из которых есть нормальная подгруппа в большей подгруппе, следующей непосредственно за ней, то есть . Если, кроме того, каждая из подгрупп нормальна в группе , то ряд называется нормальным.

Факторгруппы называются факторгруппами ряда.

Длина ряда[править | править код]

Ряд с дополнительным свойством для всех называется рядом без повторов. Длина ряда — это число собственных включений . Если ряд не имеет повторов, то его длина равна .

Для субнормального ряда, его длина — это число нетривиальных факторгрупп ряда. Каждая нетривиальная группа имеет субнормальный ряд длины 1, а именно ряд . Каждая собственная нормальная подгруппа определяет субнормальный ряд длины 2. Для простых групп тривиальный ряд длины 1 является единственным возможным субнормальным рядом.

Восходящие и нисходящие ряды[править | править код]

Ряды подгрупп могут быть записаны в восходящем порядке

либо в нисходящем порядке

Для конечного ряда нет разницы в какой форме он записан — как восходящий или как нисходящий ряд. Однако для бесконечного ряда уже есть различие: восходящий ряд имеет наименьший элемент, непосредственно следующий за ним элемент, затем следующий, и так далее, но может не иметь максимального элемента, отличного от . Нисходящий ряд , наоборот, имеет наибольший элемент, но может не иметь наименьшего элемента, отличного от .

Нётеровы и артиновы группы[править | править код]

Группа, которая удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей, называется нётеровой. Это условие означает, что для такой группы не существует бесконечной цепочки подгрупп, возрастающей относительно отношения включения. Соответственно, группа, удовлетворяющая условию обрыва убывающих цепей, называется артиновой; эта терминология аналогична выделению артиновых и нётеровых колец.

Группа может быть нётеровой и не быть артиновой, пример — аддитивная группа целых чисел. В отличие от колец, группа может быть артиновой и не быть нётеровой, пример — группа Прюфера.

Факторгруппы и подгруппы нётеровых групп являются нётеровыми. Более того, расширение нётеровой группы при помощи нётеровой группы является нётеровой группой (это значит, что если данная группа имеет нётерову нормальную подгруппу, факторгруппа по которой нётерова, то и сама эта группа нётерова). Для артиновых групп верны аналогичные утверждения.

Условие нётеровости группы эквивалентно также условию, что любая подгруппа данной группы является конечнопорождённой.

Бесконечные и трансфинитные ряды[править | править код]

Бесконечные ряды подгрупп определяются естественным образом: в этом случае нужно зафиксировать некоторое бесконечное линейно упорядоченное индексное множество. Восходящий ряд , для которого индексное множество — множество натуральных чисел, часто называют просто бесконечным восходящим рядом. Если подгруппы ряда занумерованы порядковыми числами, то получается трансфинитный ряд,[1] например, ряд

Если задана рекурсивная формула для элементов ряда, то можно определять трансфинитный ряд при помощи трансфинитной рекурсии. При этом на предельных порядковых числах элементы восходящего трансфинитного ряда задаются формулой

а элементы нисходящего трансфинитного ряда — формулой

Другие линейно упорядоченные множества редко возникают в качестве индексирующих множеств в рядах подгрупп. Например, можно рассмотреть двусторонне-бесконечный ряд подгрупп, индексированный целыми числами:

Сравнение рядов[править | править код]

Уплотнение ряда подгрупп — это другой ряд подгрупп, содержащий каждый элемент первоначального ряда. Понятие уплотнения задаёт частичный порядок на множестве рядов подгрупп заданной группы, ряды подгрупп образуют решётку по отношению к такому упорядочению, а субнормальные и нормальные ряды образуют подрешётки этой решётки. Особый интерес представляют в определённом смысле максимальные ряды без повторов.

Два субнормальных ряда называются эквивалентными или изоморфными, если есть биективное отображение, связывающее множества их факторгрупп, такое, что соответствующие факторгруппы изоморфны.


Максимальные ряды[править | править код]

Композиционный ряд — это максимальный субнормальный ряд.

В классе конечных субнормальных рядов максимальность означает, что каждая факторгруппа простая, то есть конечный композиционный ряд — это конечный субнормальный ряд с простыми факторгруппами .
В классе восходящих трансфинитных субнормальных рядов максимальность связана с понятием трансфинитной сверхпростоты[1][неавторитетный источник?] (hypertranssimplicity).

Группа называется трансфинитно сверхпростой[источник не указан 2927 дней], если она не имеет восходящих субнормальных рядов без повторов (конечных либо трансфинитных), отличных от тривиального ряда .

Восходящий трансфинитный субнормальный ряд является композиционным рядом, если все его факторгруппы трансфинитно сверхпросты.

Открытые проблемы[править | править код]

  1. Всякая трансфинитно сверхпростая группа является простой. То есть класс трансфинитно сверхпростых групп составляет подкласс в классе простых групп. Остается открытым вопрос о совпадении или несовпадении этих классов. Требуется построить пример простой группы, которая не является трансфинитно сверхпростой, либо доказать, что таких групп не существует.

Список литературы[править | править код]

  1. 1 2 Sharipov, R.A. (2009), "Transfinite normal and composition series of groups", arΧiv:0908.2257 [math.GR]