Факторгруппа
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.
Факторгруппа группы по нормальной подгруппе обычно обозначается .
Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.
Определение
[править | править код]Пусть — группа, — её нормальная подгруппа и — произвольный элемент. Тогда на классах смежности в
можно ввести умножение:
Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если и , то . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой по .
Свойства
[править | править код]- Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма
- ,
- то есть факторгруппа по ядру изоморфна её образу в .
- Отображение задаёт естественный гомоморфизм .
- Порядок равен индексу подгруппы . В случае конечной группы он равен .
- Если абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и будет обладать тем же свойством.
- изоморфна тривиальной группе (), изоморфна .
Примеры
[править | править код]- Пусть , , тогда изоморфна .
- Пусть (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), (группа верхних унитреугольных матриц), тогда изоморфна группе диагональных матриц.
- Пусть (симметрическая группа), (четверная группа Клейна, состоящая из перестановок e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) тогда изоморфна .
- Пусть (симметрическая группа), (знакопеременная группа), тогда изоморфна .
- Пусть (группа кватернионов), (циклическая группа, состоящая из 1, −1), тогда изоморфна .
Вариации и обобщения
[править | править код]Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |