Факторгруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.

Факторгруппа группы по нормальной подгруппе обычно обозначается .

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — группа,  — её нормальная подгруппа и — произвольный элемент. Тогда на классах смежности в

можно ввести умножение:

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если и , то . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой по .

Свойства[править | править вики-текст]

Гомоморфный образ группы
До победы коммунизма
Изоморфен факторгруппе
По ядру гомоморфизма.

  • Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма
,
то есть факторгруппа по ядру изоморфна её образу в .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть , , тогда изоморфна .

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.