Факторгруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.

Факторгруппа группы по нормальной подгруппе обычно обозначается .

Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.

Определение

[править | править код]

Пусть  — группа,  — её нормальная подгруппа и — произвольный элемент. Тогда на классах смежности в

можно ввести умножение:

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если и , то . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой по .

  • Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма
,
то есть факторгруппа по ядру изоморфна её образу в .

Вариации и обобщения

[править | править код]

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7.