Связность Гаусса — Манина

Карл Фридрих Гаусс

С расслоением, слои которого являются гладкими многообразиями (или гладкими алгебраическими многообразиями), можно связать некоторое расслоение с плоской связностью, называемой свя́зностью Га́усса — Ма́нина.

Определение

Пусть $Y\to X$ — расслоение, слои которого $Y_{x}$ — гладкие многообразия. Рассмотрим векторное расслоение $E\to X$ со слоями $E_{x}=H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$. Иными словами, повесим вместо каждого слоя его $k$-тые когомологии де Рама. По теореме Эресманна, гладкие расслоения локально тривиальны, так что в достаточно малой окрестности по базе можно отождествить слои друг с другом, и провозгласить гладкими сечениями $E$ сечения, которые соответствуют гладким вариациям класса когомологий при тривиализации. Строго говоря, мы определили не расслоение, а только пучок, но это действительно будет пучок сечений расслоения.

Юрий Иванович Манин

Для простоты предположим на минутку, что слои компактны. Когомологии де Рама компактного многообразия изоморфны сингулярным когомологиям $H^{k}(Y_{x},\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {R}$, таким образом, в каждом слое $E_{x}$ имеется решётка целочисленных когомологий, гладко зависящая от точки $x$. Связность Гаусса — Манина определяется как связность, относительно которой локальные сечения, в каждой точке принимающие значения в этой целочисленной решётке, являются плоскими.

Описание связности Гаусса — Манина через плоские сечения даёт удобный способ её визуализировать, однако для её существования наличие целочисленной структуры на когомологиях совершенно не необходимо. Она допускает следующее описание. Выберем в расслоении $Y\to X$ связность Эресманна $H\subset TY$. Если $s\in \Gamma (E)$ — какое-то сечение, оно может быть реализовано набором замкнутых форм $\sigma _{x}\in \Omega ^{k}(Y_{x})$. Выбранная связность Эресманна позволяет продолжить его до единой формы $\sigma \in \Omega ^{k}(Y)$, доопределяя её на направлениях, трансверсальных слоям, условием $\iota _{h}\sigma =0$ для всех $h\in H$. Заметим, что эта форма не обязана быть замкнутой. Определим связность Гаусса — Манина $\nabla$ таким образом: $(\nabla _{v}s)_{x}=\left[\left(\mathrm {Lie} _{\widetilde {v}}\sigma \right)|_{Y_{x}}\right]\in H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$. Здесь $v$ — произвольное векторное поле на базе, а ${\widetilde {v}}$ — его поднятие при помощи связности Эресманна, то есть сечение $H$, при проекции на базу переходящее в $v$. Проверка того, что это хорошо определённая связность (то есть что такая производная Ли будет замкнута в ограничении на слои, и эта операция удовлетворяет тождеству Лейбница), не составляет труда; чуть сложнее показать, что она не зависит от выбора связности Эресманна.

Это определение связности Гаусса — Манина изящно формулируется в терминах дифференциально градуированных алгебр. Это позволяет перенести определение связности Гаусса — Манина в некоммутативную геометрию: Гетцлер, и Каледин построили связность Гаусса-Манина на периодических циклических гомологиях.

Применение

Связность Гаусса — Манина в первых когомологиях семейства эллиптических кривых с уравнениями $x^{3}+y^{3}+z^{3}=\lambda xyz$ над проколотой сферой Римана, параметризованной комплексным параметром $\lambda$, определяет дифференциальное уравнение, известное как уравнение Пикара — Фукса. Гаусс рассматривал аналогичное уравнение для семейства кривых $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$; общее описание таких уравнений в случае, когда база является алгебраической кривой, было дано Маниным, а в общем случае Гротендиком. Ему принадлежит название «связность Гаусса — Манина», а также абстрактное алгебраико-геометрическое описание этой связности как одной из стрелок в спектральной последовательности Лере для подходящего пучка.

Владимир Арнольд

Связность Гаусса — Манина используется также в симплектической геометрии. Именно, пусть $Y\to X$ — расслоение, слои которого лагранжевы торы. Касательное пространство к базе такого расслоения можно отождествить с некоторым подпространством в пространстве сечений нормального расслоения к слою, висящему над этой точкой. Но у лагранжева подмногообразия нормальное расслоение изоморфно кокасательному, так что эти сечения определяют дифференциальные 1-формы на слое. Оказывается, эти формы замкнуты, и их классы когомологий суть всевозможные классы первых когомологий слоя. Таким образом, касательное расслоение к базе лагранжева расслоения изоморфно расслоению первых когомологий слоёв, и, следовательно, имеет каноническую плоскую связность, связность Гаусса — Манина. В механике это утверждение имеет следствие, известное как теорема Лиувилля — Арнольда: у гамильтоновой системы, имеющей столько же независимых находящихся в инволюции интегралов, сколько степеней свободы, уравнения движения могут быть решены в квадратурах. Голоморфная версия теоремы Лиувилля — Арнольда определяет плоскую связность с монодромией $\mathrm {SL} (2n,\mathbb {Z} )\ltimes \mathbb {R} ^{2n}$ вне некоторого дивизора на $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$, базе голоморфного лагранжева расслоения на гиперкэлеровом многообразии. Наиболее наглядный случай, когда тотальное пространство — K3-поверхность, слои — эллиптические кривые, а база — сфера Римана с 24 проколами, изучена Концевичем и Сойбельманом.