Когомологии де Рама

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий.

Названы в честь швейцарского математика де Рама. -мерная группа когомологий де Рама многообразия обычно обозначается .

Гладкие многообразия[править | править вики-текст]

Определения[править | править вики-текст]

Через коцепной комплекс[править | править вики-текст]

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии с внешним дифференциалом в качестве дифференциала.

Здесь  — пространство гладких функций на ,  — пространство 1-форм, то есть  — пространство -форм. Заметим, что . -мерная группа когомологий этого коцепного комплекса является его мерой точности в -ом члене и определяется как

  • Форма называется замкнутой, если , в этом случае .
  • Форма называется точной, если , для некоторой , то есть .

Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.

Как класс эквивалентности форм[править | править вики-текст]

Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы и в называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в .

Когомологическим классом формы называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от на точную форму — то есть множество форм вида .

-мерная группа когомологий де Рама  — это факторгруппа всех замкнутых форм в по подгруппе точных форм.

Заметим, что для многообразия , имеющего связных компонент,

Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.

Теорема де Рама[править | править вики-текст]

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если  — замкнутая -форма, а и  — гомологичные -цепи (то есть является границей -мерной цепи ), то

поскольку их разность есть интеграл

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама в группу сингулярных когомологий . Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях задаёт -умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.

Алгебраические многообразия[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием над полем связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.

Группами когомологий де Рама многообразия называются группы когомологий .

Частные случаи когомологий де Рама[править | править вики-текст]

где  — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию .
  • Например, если  — дополнение к алгебраической гиперповерхности в , то когомологии могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на с полюсами на этой гиперповерхности.

Относительные когомологии де Рама[править | править вики-текст]

Для любого морфизма можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

приводящий к относительным когомологиям де Рама .

В случае, если многообразие является спектром кольца , а , то относительный комплекс де Рама совпадает с .

Когомологии комплекса пучков на называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли  — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на .

Литература[править | править вики-текст]

  • Ботт, Р., Ту, Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997. — 336 с. — ISBN 5-80100-280-4..
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984. — 343 с.
  • де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия = Varietes differentiables. — M.: КомКнига, 2006. — 250 с. — ISBN 5-484-00341-5..

См. также[править | править вики-текст]