Система уравнений

Систе́ма уравне́ний — совокупность уравнений, рассматриваемых совместно относительно одних и тех же переменных.

Обозначения

Формальная запись общего вида может выглядеть так:

${\begin{cases}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\ldots \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\end{cases}}$

Фигурная скобка означает, что решение $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})$ должно удовлетворять каждому уравнению.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Типы систем уравнений

• Алгебраические уравнения:
  • Система линейных алгебраических уравнений.
  • Система нелинейных уравнений.
• Дифференциальные уравнения:
  • Система дифференциальных уравнений (линейные/нелинейные, обыкновенные/в частных производных).

Методы решения

Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы.

Так, для линейных систем известны аналитические методы (метод Крамера) и численные — как точные (метод Гаусса), так и приближённые (метод итераций).

Для нелинейных систем общего аналитического решения не существует; обычно применяются численные методы.

Для систем дифференциальных уравнений разработана целая отрасль численных методов.

Разные факты

• Любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме $f_{i}(x)=0$, возвести их в квадрат и сложить.
• Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка.