Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).[1]
Для системы
n
{\displaystyle n}
линейных уравнений с
n
{\displaystyle n}
неизвестными (над произвольным полем )
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
…
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
…
+
a
2
n
x
n
=
b
2
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
…
+
a
n
n
x
n
=
b
n
{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}}
с определителем матрицы системы
Δ
{\displaystyle \Delta }
, отличным от нуля, решение записывается в виде
x
i
=
1
Δ
|
a
11
…
a
1
,
i
−
1
b
1
a
1
,
i
+
1
…
a
1
n
a
21
…
a
2
,
i
−
1
b
2
a
2
,
i
+
1
…
a
2
n
…
…
…
…
…
…
…
a
n
−
1
,
1
…
a
n
−
1
,
i
−
1
b
n
−
1
a
n
−
1
,
i
+
1
…
a
n
−
1
,
n
a
n
1
…
a
n
,
i
−
1
b
n
a
n
,
i
+
1
…
a
n
n
|
{\displaystyle x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n-1,1}&\ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1 , c2 , …, cn справедливо равенство:
(
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
⋯
+
c
n
x
n
)
⋅
Δ
=
−
|
a
11
a
12
…
a
1
n
b
1
a
21
a
22
…
a
2
n
b
2
…
…
…
…
…
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
b
n
c
1
c
2
…
c
n
0
|
{\displaystyle (c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}&b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}}
В этой форме метод Крамера справедлив без предположения, что
Δ
{\displaystyle \Delta }
отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
n
{\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{n}}
и
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
, либо набор
c
1
,
c
2
,
.
.
.
,
c
n
{\displaystyle c_{1},c_{2},...,c_{n}}
состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы .
Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
b
2
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
=
b
3
{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\\\end{cases}}}
Определители:
Δ
=
|
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
|
,
Δ
1
=
|
b
1
a
12
a
13
b
2
a
22
a
23
b
3
a
32
a
33
|
,
{\textstyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ }
Δ
2
=
|
a
11
b
1
a
13
a
21
b
2
a
23
a
31
b
3
a
33
|
,
Δ
3
=
|
a
11
a
12
b
1
a
21
a
22
b
2
a
31
a
32
b
3
|
{\displaystyle \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}
В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.
Решение:
x
1
=
Δ
1
Δ
,
x
2
=
Δ
2
Δ
,
x
3
=
Δ
3
Δ
{\displaystyle x_{1}={\frac {\Delta _{1}}{\Delta }},\ \ x_{2}={\frac {\Delta _{2}}{\Delta }},\ \ x_{3}={\frac {\Delta _{3}}{\Delta }}}
Пример:
{
2
x
1
+
5
x
2
+
4
x
3
=
30
x
1
+
3
x
2
+
2
x
3
=
150
2
x
1
+
10
x
2
+
9
x
3
=
110
{\displaystyle {\begin{cases}2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=30\\x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=150\\2x_{1}+10x_{2}+9x_{3}=110\\\end{cases}}}
Определители:
Δ
=
|
2
5
4
1
3
2
2
10
9
|
=
5
,
Δ
1
=
|
30
5
4
150
3
2
110
10
9
|
=
−
760
,
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\\\end{vmatrix}}=-760,\ \ }
Δ
2
=
|
2
30
4
1
150
2
2
110
9
|
=
1350
,
Δ
3
=
|
2
5
30
1
3
150
2
10
110
|
=
−
1270.
{\displaystyle \Delta _{2}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150\\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.}
x
1
=
−
760
5
=
−
152
,
x
2
=
1350
5
=
270
,
x
3
=
−
1270
5
=
−
254
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {760}{5}}=-152,\ \ x_{2}={\frac {1350}{5}}=270,\ \ x_{3}=-{\frac {1270}{5}}=-254}
Метод Крамера требует вычисления
n
+
1
{\displaystyle n+1}
определителей размерности
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
. При использовании метода Гаусса для вычисления определителей метод имеет сложность по элементарным операциям сложения-умножения порядка
O
(
n
4
)
{\displaystyle O(n^{4})}
, что сложнее, чем метод Гаусса при прямом решении системы. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью
O
(
n
3
)
{\displaystyle O(n^{3})}
, сравнимой со сложностью метода Гаусса [2] .
Мальцев И. А. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c.
↑ Cramer, Gabriel. Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques (фр.) 656–659. Geneva: Europeana (1750). Дата обращения: 18 мая 2012.
↑ Ken Habgood and Itamar Arel. 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)
Прямые методы Итерационные методы Общее