Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)[1].
Для системы
линейных уравнений с
неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы
, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

В такой форме метод Крамера справедлив без предположения, что
отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы
и
, либо набор
состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.
Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

Определители:


В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.
Решение:

Пример:

Определители:


Метод Крамера требует вычисления
определителей порядка
. При использовании метода Гаусса для вычисления определителей метод имеет сложность по элементарным операциям сложения-умножения порядка
, что сложнее, чем метод Гаусса при прямом решении системы. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью
, сравнимой со сложностью метода Гаусса[2].
- Мальцев И. А. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c.
- ↑ Cramer, Gabriel. Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques (фр.) 656–659. Geneva: Europeana (1750). Дата обращения: 18 мая 2012.
- ↑ Ken Habgood and Itamar Arel. 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)
|
---|
Прямые методы | |
---|
Итерационные методы | |
---|
Общее | |
---|