Арифметическая прогрессия

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

$a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots$,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа $d$ (шага, или разности прогрессии):

$a_{n}=a_{n-1}+d\quad$

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При $d>0$ она является возрастающей, а при $d<0$ — убывающей. Если $d=0$, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения $a_{n+1}-a_{n}=d$ для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером $n$ может быть найден по формуле

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

где $a_{1}$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность.

Доказательство

Запишем сумму двумя способами: $S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}$ $S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали: $2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$ Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n$. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: $a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n$ Получили, что каждое слагаемое не зависит от $i$ и равно $2a_{1}+(n-1)d$. В частности, $a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d$. Поскольку таких слагаемых $n$, то $2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n$ Третья формула для суммы получается подстановкой $2a_{1}+(n-1)d$ вместо $a_{1}+a_{n}$. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: Вместо $a_{1}+a_{n}$ в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_{i}+a_{n-i+1},i=2,3,\ldots ,n$, так как они все равны между собой.

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ расходится при $d\neq 0$ и сходится при $d=0$. Причём

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,\ d>0\\-\infty ,\ d<0\\a_{1},\ d=0\end{matrix}}\right.$

Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел $\lim _{n\rightarrow \infty }(a_{1}+(n-1)d)$, получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$ и число $a>0$. Тогда последовательность вида $a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем $a^{d}$.

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии: ${\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}=a^{a_{n}},n\geqslant 2$ Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: ${\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}={\sqrt {a^{a_{1}+(n-2)d}\cdot a^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {a^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(a^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=a^{a_{1}+(n-1)d}=a^{a_{n}},n\geqslant 2$ Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения $q={\frac {a^{a_{2}}}{a^{a_{1}}}}={\frac {a^{a_{1}+d}}{a^{a_{1}}}}=a^{d}$.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если $\left[a_{i}\right]_{1}^{n}$ — арифметическая прогрессия порядка $m$, то существует многочлен $P_{m}(i)=c_{m}i^{m}+...+c_{1}i+c_{0}$, такой, что для всех $i\in \left\{1,....n\right\}$ выполняется равенство $a_{i}=P_{m}(i)$

Примеры

• Натуральный ряд $1,2,3,4,5,\ldots$ — это арифметическая прогрессия, в которой первый член $a_{1}=1$, а разность $d=1$.
• $1,-1,-3,-5,-7$ — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой $a_{1}=1$ и $d=-2$.
• Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу $a$, то это есть арифметическая прогрессия, в которой $a_{1}=a$ и $d=0$. В частности, $\pi ,\pi ,\pi ,\ldots$ есть арифметическая прогрессия с разностью $d=0$.
• Сумма первых $n$ натуральных чисел выражается формулой

$\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

Дополнительные формулы

Нахождение разности ${\mathit {d}}$ арифметической прогрессии,если известны члены этой прогрессии отличающиеся на разность их номеров

Пусть нам будут известны значения двух членов из некой числовой последовательности,например:

${\mathit {a_{n}=\alpha }}$ и ${\mathit {a_{m}=\beta }}$ , где ${\mathit {n}}$ и ${\mathit {m}}$ - номера членов некой числовой последовательности.

Так как члены последовательности не являются соседними,то найдем насколько член ${\mathit {a_{m}}}$опережает ${\mathit {a_{n}}}$на некое количество номеров ,то есть найдем разность этих номеров:

${\mathit {m-n=k}}$ ,где ${\mathit {k}}$ - разность номеров двух членов

Теперь найдем разность самих членов последовательности:

${\mathit {a_{m}-a_{n}=\beta -\alpha =p}}$ ,где ${\mathit {p}}$ - разность двух членов

Последний шаг - найти частное этих двух разностей,а именно:

${\mathit {d={\frac {k}{p}}}}$ ,где ${\mathit {d}}$ - разность арифметической прогрессии.

В конечном итоге мы получаем формулу:

${\mathit {d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}}$

Занимательная история

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

${\frac {n(n+1)}{2}}$

то есть к формуле суммы первых $n$ чисел натурального ряда.

См. также

• Геометрическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия

Ссылки

• Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890. — Т. II. — С. 98.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.