Параметрическое представление

Пример параметрической кривой.

Параметрическое представление — разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

Параметрическое представление функции

Предположим, что функциональная зависимость y от x не задана непосредственно y = f(x), а через промежуточную величину — t. Тогда формулы

$x=\varphi (t)~;~$  $~y=\psi (t)$

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции φ и ψ имеют производные и для φ существует обратная функция θ, явное представление функции выражается через параметрическое как:

$~y=\psi (\theta (x))=f(x)$

и производная функции может быть вычислена как

$y'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}={\frac {\psi '(t)}{\phi '(t)}}$

Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры, затруднительно.

Параметрическое представление уравнения

Параметрическое представление для более общего случая: когда переменные связаны отношением в виде уравнения (или системы уравнений, если переменных больше двух).

Примеры

Уравнение окружности имеет вид:

$x^{2}+y^{2}=r^{2}.\,$

Параметрическое представление окружности:

$~x=r~\cos ~t~$$;~y=r~\sin ~t$

Уравнение гиперболы описывается уравнением:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Параметрическое представление гиперболы (точнее, её ветви $x>0$):

$~x=a~\operatorname {ch} ~t~$$~;~y=b~\operatorname {sh} ~t$

Ссылки

• Параметрическое задание кривой. Лекции по математическому анализу
• Лекции по математическому анализу. доцент кафедры математического анализа Иркутского госуниверситета Романова О. А.