Окрестность: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Burmisha (обсуждение | вклад) |
Kink (обсуждение | вклад) |
||
Строка 38: | Строка 38: | ||
== Вариации и обобщения == |
== Вариации и обобщения == |
||
=== Проколотая окрестность === |
=== Проколотая окрестность === |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
Формальное определение: |
|||
Множество <math>\dot{V}</math> называется '''проко́лотой окре́стностью''' (вы́колотой окрестностью) точки <math>x\in X</math>, если |
Множество <math>\dot{V}</math> называется '''проко́лотой окре́стностью''' (вы́колотой окрестностью) точки <math>x\in X</math>, если |
||
: <math>\dot{V} = V \setminus \{x\},</math> |
: <math>\dot{V} = V \setminus \{x\},</math> |
||
где <math>V</math> — окрестность <math>x</math>. |
где <math>V</math> — окрестность <math>x</math>. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
== См. также == |
== См. также == |
Версия от 06:23, 8 февраля 2012
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Определения
Математический анализ
Пусть произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от не более чем на , т.е. .
В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .
В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
Общая топология
- Пусть задано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .
- Аналогично окрестностью множества называется такое множество , что существует открытое множество , для которого выполнено .
Замечания
- Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. [1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
- Прямо из определения следует, что является окрестностью множества тогда и только тогда, когда есть окрестность любой точки .
Пример
Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда является открытой окрестностью, а — замкнутой окрестностью точки .
Вариации и обобщения
Проколотая окрестность
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка. Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
Формальное определение: Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если
где — окрестность .
См. также
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Примечания
- ↑ У.Рудин Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — С. 13.