Эндоморфизм Фробениуса: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
YFdyh-bot (обсуждение | вклад) м r2.7.3) (бот добавил: ca, cs, de, es, fr, he, it, nl, pl, pt, zh изменил: en |
Sonic86 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 6: | Строка 6: | ||
* Автоморфизмы <math>\sigma^j</math> переводят любой элемент <math>\alpha</math> в ему [[сопряженный элемент|сопряженные]] |
* Автоморфизмы <math>\sigma^j</math> переводят любой элемент <math>\alpha</math> в ему [[сопряженный элемент|сопряженные]] |
||
* Автоморфизм Фробениуса оставляет на месте элементы основного поля <math>\mathbb{F}_q</math>. |
* Автоморфизм Фробениуса оставляет на месте элементы основного поля <math>\mathbb{F}_q</math>. |
||
* Если <math>f</math> - многочлен степени ''m'' над <math>\mathbb{F}_q</math>, то он имеет корень <math>\alpha</math> в <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> и все его ''m'' корней <math>\alpha_j</math> получаются применением ''m'' раз автоморфизма Фробениуса к <math>\alpha</math>: <math>\alpha_j=\sigma_j(\alpha)</math>. |
|||
* Поскольку <math>(\forall f\in \mathbb{F}_{q^m}) f^{q^m}=f</math>, <math>\sigma^ |
* Поскольку <math>(\forall f\in \mathbb{F}_{q^m}) f^{q^m}=f</math>, <math>\sigma^m=1</math>, а все автоморфизмы <math>\sigma,\sigma^2,...\sigma^m</math> различны. Также, автоморфизмы <math>\sigma,\sigma^2,...\sigma^m</math> исчерпывают все возможные автоморфизмы <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> над <math>\mathbb{F}_{q}</math>, так что [[группа Галуа]] <math>Gal(\mathbb{F}_{q^m},\mathbb{F}_{q})</math> является циклической с образующим элементом <math>\sigma_1</math>. |
||
== Литература == |
== Литература == |
Версия от 15:32, 10 декабря 2012
Автоморфизм Фробениуса — автоморфизм конечного поля над полем , где q - степень простого числа. Автоморфизм Фробениуса задается формулой . Группа автоморфизмов над носит также название группы Галуа поля над . Группа Галуа над является циклической, а значит поле является циклическим расширением поля .
Свойства
- Автоморфизм Фробениуса является автоморфизмом: .
- Автоморфизмы переводят любой элемент в ему сопряженные
- Автоморфизм Фробениуса оставляет на месте элементы основного поля .
- Если - многочлен степени m над , то он имеет корень в и все его m корней получаются применением m раз автоморфизма Фробениуса к : .
- Поскольку , , а все автоморфизмы различны. Также, автоморфизмы исчерпывают все возможные автоморфизмы над , так что группа Галуа является циклической с образующим элементом .
Литература
- Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.