Эндоморфизм Фробениуса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики p, задаётся формулой . В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так.

Определение и базовые свойства[править | править вики-текст]

Пусть R — коммутативное кольцо простой характеристики p (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца R определяется формулой . Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец, так как (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на p).

Если  — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики p, то , то есть: .

Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора (на категории коммутативных колец характеристики p) в себя.

Если кольцо R не содержит нетривиальных нильпотентов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен (так как его ядро нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если  — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени , то . Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен, даже если R является полем. Например, пусть  — поле рациональных функций с коэффициентами в , тогда функция не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.

Поле K называется совершенным, если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.

Неподвижные точки[править | править вики-текст]

Рассмотрим конечное поле . Согласно малой теореме Ферма, все элементы этого поля удвлетворяют уравнению . Уравнение p-й степени не может иметь более p корней, следовательно, в любом расширении поля неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля . Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики p.

Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если  — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками k-й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками .

Порождающий элемент группы Галуа[править | править вики-текст]

Группа Галуа конечного расширения конечного поля является циклической и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является простым. Пусть  — конечное поле, где . Эндоморфизм Фробениуса сохраняет элементы простого поля , поэтому он является элементом группы Галуа расширения . Оказывается, что эта группа является циклической и порождается . Порядок этой группы равен , так как эндоморфизм действует на тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.

В расширении основное поле фиксируется n-й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается и имеет порядок .

Эндоморфизм Фробениуса для схем[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]