Эндоморфизм Фробениуса

Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики $p$ , задаётся формулой $x\mapsto x^{p}$ . В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так.

Определение и базовые свойства[править | править код]

Пусть $R$ — коммутативное кольцо простой характеристики $p$ (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца $R$ определяется формулой $F(x)=x^{p}$ . Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец, так как $(xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на $p$ ).

Если $\varphi :R\to S$ — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики $p$ , то $\varphi (x^{p})=(\varphi (x))^{p}$ , то есть: $\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi$ .

Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора (на категории коммутативных колец характеристики $p$ ) в себя.

Если кольцо $R$ не содержит нетривиальных нильпотентов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен (так как его ядро нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если $x$ — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени $n$ , то $(x^{n-1})^{p}=0$ . Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен, даже если $R$ является полем. Например, пусть $R=\mathbb {F} _{p}(t)$ — поле рациональных функций с коэффициентами в $\mathbb {F} _{p}$ , тогда функция $t$ не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.

Поле $K$ называется совершенным, если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.

Неподвижные точки[править | править код]

Рассмотрим конечное поле $\mathbb {F} _{p}$ . Согласно малой теореме Ферма, все элементы этого поля удовлетворяют уравнению $x^{p}=x$ . Уравнение $p$ -й степени не может иметь более $p$ корней, следовательно, в любом расширении поля $\mathbb {F} _{p}$ неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля $\mathbb {F} _{p}$ . Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики $p$ .

Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если $\mathbb {F} _{p^{k}}$ — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению $x^{p^{k}}=x$ и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками $k$ -й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками $x\mapsto x^{p^{k}}$ .

Порождающий элемент группы Галуа[править | править код]

Группа Галуа конечного расширения конечного поля является циклической и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является простым. Пусть $\mathbb {F} _{q}$ — конечное поле, где $q=p^{n}$ . Эндоморфизм Фробениуса $F$ сохраняет элементы простого поля $\mathbb {F} _{p}$ , поэтому он является элементом группы Галуа расширения $\mathbb {F} _{q}\supset \mathbb {F} _{p}$ . Оказывается, что эта группа является циклической и порождается $F$ . Порядок этой группы равен $n$ , так как эндоморфизм $x\mapsto x^{q}$ действует на $\mathbb {F} _{q}$ тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.

В расширении $\mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}$ основное поле фиксируется $n$ -й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается $F^{n}$ и имеет порядок $k$ .