Замкнутое множество

Для термина «Замкнутость» см. также другие значения.

За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства, дополнение к которому открыто.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$. Множество $V\subset X$ называется замкнутым относительно топологии ${\mathcal {T}}$, если существует открытое множество $U\in {\mathcal {T}}$ такое, что $V=X\setminus U$.

Замыкание

Замыканием множества $U$ топологического пространства $X$ называют минимальное по включению замкнутое множество $Z$, содержащее $U$.

Замыкание множества $U\subset X$ обычно обозначается ${\bar {U}}$, $\mathop {\rm {Cl}} U$ или $\mathrm {Cl} _{X}U$; последнее обозначение используется, если надо подчеркнуть, что ${\bar {U}}$ рассматривается как множество в пространстве $X$.

Свойства

• Множество $U$ замкнуто тогда и только тогда, когда ${\bar {U}}=U$.

Примеры

• Пустое множество $\varnothing$ всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
• Отрезок $[a,b]\subset \mathbb {R}$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
• Множество $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ замкнуто в пространстве рациональных чисел $\mathbb {Q}$, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел $\mathbb {R}$.

Вариации и обобщения

• Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве $F$  содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества $F$ .

См. также

• Открытое множество
• Замыкание (геометрия)

Литература

• Завало С. Т.  Елементи аналізу. Алгебра многочленів. — Київ: Радянська школа, 1972.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В.  Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 575 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Фихтенгольц Г. М.  Основы математического анализа. — М.: Наука, 1954.