Abc-гипотеза

abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году и Джозефом Эстерле в 1988 году.

Доказательство abc-гипотезы долгое время было одной из главных нерешенных проблем теории чисел; статус этой проблемы в настоящее время спорный.

Формулировка

Для любого $\varepsilon >0$ существует постоянная $K(\varepsilon )$, при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел $a$, $b$ и $c$, таких, что $a+b=c$, выполняется неравенство:

$\max(|a|,|b|,|c|)\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (abc)\right)^{1+\varepsilon }$,

где $\operatorname {rad} (abc)$ — радикал целого числа.

Замечания

• Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа $a$, $b$ и $c$. Тогда неравенство сводится к следующему:

  $c\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (abc)\right)^{1+\varepsilon }$

• Условие $\varepsilon >0$ необходимо. Для любого $K$ существует тройка взаимно простых чисел $a,b,c=a+b$ таких, что $c>K\cdot \operatorname {rad} (abc)$. Например тройка вида $a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}$, где $K<3^{n-1}$.

Доказательство гипотезы Била

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших $z$, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней.

Доказательство гипотезы Била на основе abc-гипотезы

Согласно гипотезе Била, если $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ ($A$, $B$, $C$, $x$, $y$, $z$ — натуральные и $x,\;y,\;z>2$), то $A$, $B$, $C$ имеют общий делитель.

Докажем гипотезу Била для достаточно больших $z$ от противного. Предположим, существует бесконечное количество $z$, для которых гипотеза Била неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:

$C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{1+\varepsilon }$

Учтём, что $\operatorname {rad} (A^{x}B^{y}C^{z})=\operatorname {rad} (ABC)\leqslant ABC$. Поэтому:

$C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (ABC)\right)^{1+\varepsilon }\leqslant K(\varepsilon )\cdot (ABC)^{1+\varepsilon }$

Поскольку из условий теоремы очевидно, что $A<C$ и $B<C$, то $ABC\leqslant C^{3}$. Тогда:

$C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot C^{3+3\varepsilon }$

Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на $\log C$, получим ограничение сверху на величину $z$:

$z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C}}+3+3\varepsilon$,        (*)

причём, отношение ${\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C}}$ должно быть конечным, поскольку, по условию $A$, $B$, $C$ — натуральные (то есть $A,B\geqslant 1\;\Rightarrow \;C\geqslant 2$)

Таким образом, можно найти некоторое конечное значение $z$, для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших $z$ ошибочно. Для оставшегося конечного количества $z$ справедливость гипотезы Била можно доказать численно.

Доказательство гипотез Пиллаи и Каталана

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

Доказательство Мотидзуки

В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу. В октябре того же года Веселин Димитров и Акшай Венкатеш обнаружили ошибку в доказательстве, Мотидзуки признал этот факт, но заявил, что данная ошибка не влияет на основные результаты, а также обещал в ближайшее время опубликовать исправленную версию, что позже и сделал; последний из серии исправленных документов был датирован декабрём 2013 года.

Опубликовав доказательство, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Он публикует отчёты о ходе этой работы. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки.

Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).

Ссылки

• Weisstein, Eric W. abc Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Лекции про ABC-гипотезу: Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4 (by Keith Conrad).

Литература

• Иэн Стюарт. «Величайшие математические задачи». — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.