Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.
— квадрат суммы или разности двух выражений
— квадрат суммы трёх выражений
Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле[1]:
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d52e4cff7a7157a34586d9a29df412a7d37f574)
Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:
![{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3f363578c631fc6998a0434f4f4d5d013d803c)
Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:
![{\displaystyle ba-ab=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1cfad5cd40356d8fb62daecb6acb961c5a3d1c4)
и остаётся
![{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1062785a659038676a531f64ade5d6259d583563)
Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.
Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.
Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:
.
Чтобы это было равно
, мы должны иметь
![{\displaystyle ba-ab=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1cfad5cd40356d8fb62daecb6acb961c5a3d1c4)
для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.
- куб суммы (разности) двух чисел
- сумма (разность) кубов
- куб суммы
![{\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80982e366be65c59ed9e08473a5fe67f064cead)
![{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a\pm b)(a^{3}\mp a^{2}b+ab^{2}\mp b^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7274f6465d8c74e291074c02ad86858fd3b71275)
![{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a+b)(a-b)(a^{2}+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba6d3c99747555b62a1f334f20c94eca29cb451)
![{\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49007180bfe8e8318e47858bde6652ea9fc4698)
![{\displaystyle (a\pm b)^{5}=a^{5}\pm 5a^{4}b+10a^{3}b^{2}\pm 10a^{2}b^{3}+5ab^{4}\pm b^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300252c77d687940f0d86324d0b9103eca2cea4e)
![{\displaystyle a^{5}\pm b^{5}=(a\pm b)(a^{4}\mp a^{3}b+a^{2}b^{2}\mp ab^{3}+b^{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e463d3b963d05eda2d8a8e1492367e27dab5aa10)
![{\displaystyle a^{5}\pm b^{5}=\left(a\pm b\right)\left(a^{2}\mp {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}ab+b^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f994715364045a665df9b186e0a1f456f4605d6)
![{\displaystyle (a\pm b)^{6}=a^{6}\pm 6a^{5}b+15a^{4}b^{2}\pm 20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}\pm 6ab^{5}+b^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c361026b53398d93f644c9ea5b79ec22e144eed)
![{\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a\pm b)(a^{5}\mp a^{4}b+a^{3}b^{2}\mp a^{2}b^{3}+ab^{4}\mp b^{5})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82736d71ebd323398d9793afee125f8509c9a61)
![{\displaystyle a^{6}\pm b^{6}=(a^{2}\pm b^{2})(a^{4}\mp a^{2}b^{2}+b^{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a66a4b8a6ffa5a8afafc989a0d2d2fcc052727)
![{\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a+b)(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e99c835bb5007142cf4abeb2e5b1d29b4b54925)
![{\displaystyle a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {3}}ab+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {3}}ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec236814b6c7b6906c04d6044cb1e2f29f26b9f)
![{\displaystyle (a\pm b)^{7}=a^{7}\pm 7a^{6}b+21a^{5}b^{2}\pm 35a^{4}b^{3}+35a^{3}b^{4}\pm 21a^{2}b^{5}+7ab^{6}\pm b^{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d7cba98734d72d607bdb9219a388fcd820e0eb)
![{\displaystyle a^{7}\pm b^{7}=(a\pm b)(a^{6}\mp a^{5}b+a^{4}b^{2}\mp a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}\mp ab^{5}+b^{6})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99c8d442862ad19f98314008ec80deca39640e0)
![{\displaystyle a^{7}\pm b^{7}=(a\pm b)(a^{2}\mp (2\cos {\frac {\pi }{7}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {2\pi }{7}})ab+b^{2})(a^{2}\mp (2\cos {\frac {3\pi }{7}})ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31cc1964883c58200aea72d7d12409b50ea0287)
![{\displaystyle (a\pm b)^{8}=a^{8}\pm 8a^{7}b+28a^{6}b^{2}\pm 56a^{5}b^{3}+70a^{4}b^{4}\pm 56a^{3}b^{5}+28a^{2}b^{6}\pm 8ab^{7}+b^{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5835afb6d2354dcfe18cdf60b7cddde2be95aa7a)
![{\displaystyle a^{8}-b^{8}=(a\pm b)(a^{7}\mp a^{6}b+a^{5}b^{2}\mp a^{4}b^{3}+a^{3}b^{4}\mp a^{2}b^{5}+ab^{6}\mp b^{7})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7f0a9d96a6ed9f17f7c19432ea750132aced7a)
![{\displaystyle a^{8}-b^{8}=(a+b)(a-b)(a^{2}+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d721fa893ba8cb62f0879ea5cafbd5c4a08eed5d)
![{\displaystyle a^{8}+b^{8}=(a^{2}+\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}-\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5103818df789a1b6eb719ff67dfcd9db2240725b)
![{\displaystyle (a\pm b)^{9}=a^{9}\pm 9a^{8}b+36a^{7}b^{2}\pm 84a^{6}b^{3}+126a^{5}b^{4}\pm 126a^{4}b^{5}+84a^{3}b^{6}\pm 36a^{2}b^{7}+9ab^{8}\pm b^{9}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc36c8187bbc93ede366e1313a80b99af08288b9)
![{\displaystyle a^{9}\pm b^{9}=(a\pm b)(a^{8}\mp a^{7}b+a^{6}b^{2}\mp a^{5}b^{3}+a^{4}b^{4}\mp a^{3}b^{5}+a^{2}b^{6}\mp ab^{7}+b^{8})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04491e6ed0a974c5cf53269894ed2e3e4884210)
![{\displaystyle a^{9}\pm b^{9}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})(a^{6}\mp a^{3}b^{3}+b^{6})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0dc465fee83de99406402de06f82d771f0124a)
![{\displaystyle a^{9}\pm b^{9}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})(a^{2}\mp (2\cos {\frac {\pi }{9}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {2\pi }{9}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {4\pi }{9}})ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e606bfeeb8d02b08b8648bda689d3ca9748e61b0)
![{\displaystyle (a\pm b)^{10}=a^{10}\pm 10a^{9}b+45a^{8}b^{2}\pm 120a^{7}b^{3}+210a^{6}b^{4}\pm 252a^{5}b^{5}+210a^{4}b^{6}\pm 120a^{3}b^{7}+45a^{2}b^{8}\pm 10ab^{9}+b^{10}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a32df512609c40f66e8763c90402e27b46b1f3)
![{\displaystyle a^{10}-b^{10}=(a\pm b)(a^{9}\mp a^{8}b+a^{7}b^{2}\mp a^{6}b^{3}+a^{5}b^{4}\mp a^{4}b^{5}+a^{3}b^{6}\mp a^{2}b^{7}+ab^{8}\mp b^{9})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642df69c3cbae100fbca1880a8fdcacd6ef74913)
![{\displaystyle a^{10}\pm b^{10}=(a^{2}\pm b^{2})(a^{8}\mp a^{6}b^{4}+a^{4}b^{4}\mp a^{2}b^{6}+b^{8})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d857fb35fc2443e2136c6ddd13a640113da9e1)
![{\displaystyle a^{10}-b^{10}=(a+b)(a-b)(a^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70453a83136dc1334ce1aa659d774c9db379ce5)
![{\displaystyle a^{10}+b^{10}=(a^{2}+b^{2})(a^{2}+{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c034594dd3d4b2e36084d5be6fd5788082ee3aa0)
![{\displaystyle (a\pm b)^{11}=a^{11}\pm 11a^{10}b+55a^{9}b^{2}\pm 165a^{8}b^{3}+330a^{7}b^{4}\pm 462a^{6}b^{5}+462a^{5}b^{6}\pm 330a^{4}b^{7}+165a^{3}b^{8}\pm 55a^{2}b^{9}+11ab^{10}\pm b^{11}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee053682cadf3ed74fd8724f5c379dd912c3438)
![{\displaystyle a^{11}\pm b^{11}=(a\pm b)(a^{10}\mp a^{9}b+a^{8}b^{2}\mp a^{7}b^{3}+a^{6}b^{4}\mp a^{5}b^{5}+a^{4}b^{6}\mp a^{3}b^{7}+a^{2}b^{8}\mp ab^{9}+b^{10})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e34d7a1422329817704b2a80459b027b5603761)
![{\displaystyle a^{11}\pm b^{11}=(a\pm b)(a^{2}\mp (2\cos {\frac {\pi }{11}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {2\pi }{11}})ab+b^{2})(a^{2}\mp (2\cos {\frac {3\pi }{11}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {4\pi }{11}})ab+b^{2})(a^{2}\mp (2\cos {\frac {5\pi }{11}})ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417835fcb3635203b293cf8b9f8f1176125ca4dd)
![{\displaystyle (a\pm b)^{12}=a^{12}\pm 12a^{11}b+66a^{10}b^{2}\pm 220a^{9}b^{3}+495a^{8}b^{4}\pm 792a^{7}b^{5}+924a^{6}b^{6}\pm 792a^{5}b^{7}+495a^{4}b^{8}\pm 220a^{3}b^{9}+66a^{2}b^{10}\pm 12ab^{11}+b^{12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1bc1d11b6692daa4c8d731863ecbc277275d13)
![{\displaystyle a^{12}-b^{12}=(a\pm b)(a^{11}\mp a^{10}b+a^{9}b^{2}\mp a^{8}b^{3}+a^{7}b^{4}\mp a^{6}b^{5}+a^{5}b^{6}\mp a^{4}b^{7}+a^{3}b^{8}\mp a^{2}b^{9}+ab^{10}\mp b^{11})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65cf7b70d811c6b0fc54fe70a1326ed19000d01b)
![{\displaystyle a^{12}\pm b^{12}=(a^{4}\pm b^{4})(a^{8}\mp a^{4}b^{4}+b^{8})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6fa0ce590072eb8043f4c938c5c099bc9750b3)
![{\displaystyle a^{12}-b^{12}=(a+b)(a-b)(a^{2}+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {3}}ab+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {3}}ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b99864378083b33e7be1f1d8f6ae508f9b9814e)
![{\displaystyle a^{12}+b^{12}=(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+\left({\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}-\left({\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}+\left({\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}-\left({\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\right)ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba52b1af708ab30fe0fffb1dfdd51d8bac082b1a)
, где ![{\displaystyle n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b)
, где
— чётное число
, где
— нечётное число
Если показатель степени — составное число, то можно использовать формулы для одного из его составляющих множителей, например:
![{\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469aedca487dbd4a3a97645dd4123beb1889a2b6)
![{\displaystyle a^{3n}\pm b^{3n}=(a^{n}\pm b^{n})(a^{2n}\mp a^{n}b^{n}+b^{2n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa3a92f1bee0416093dfd0d83be0e979f218c26)
и т. д.
Если мы ограничиваемся действительными числами, то сумма или разность произвольных степеней вида
(
) может быть выражена в виде произведения нескольких многочленов, каждый из которых имеет степень не выше 2 и имеет вид либо
, либо
, либо
, где
— некоторый коэффициент (в каждом случае свой).
Для чётных
:
![{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a+b)(a-b)\prod _{m=1}^{m<{\frac {n}{2}}}(a^{2}+(2\cos {\frac {2m\pi }{n}})ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97683f2fa5bc4ad56b5c0a485e370e0b251f8721)
![{\displaystyle a^{n}+b^{n}=\prod _{m=1}^{m\leq {\frac {n}{2}}}(a^{2}+(2\cos {\frac {(2m-1)\pi }{n}})ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747a071f72fd98ca7108bd387746a9f516530afd)
Для нечётных
:
![{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\prod _{m=1}^{m<{\frac {n}{2}}}(a^{2}+(2\cos {\frac {(2m-1)\pi }{n}})ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de25a79c86a5ff4fbb8f4e49089fca92d35983ec)
![{\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)\prod _{m=1}^{m<{\frac {n}{2}}}(a^{2}+(2\cos {\frac {2m\pi }{n}})ab+b^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c8db72639161294ebdf76b01bc9f01f63a5ec2)
Если же мы работаем с комплексными числами, то то же самое может быть выражено в виде произведения нескольких многочленов степени 1 (см. ниже).
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17b1370da82e533da2af4bde14e4770bd9ce15c)
![{\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)\left(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ca6496de7a7c75eb4685c565c56de3553bdc20)
![{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b83af2b6bc1b6e960d1d531adf4c1d90586baf7)
![{\displaystyle a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {1-i}{\sqrt {2}}}b\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c211d60a44c8e7e1302665b02d6d27ddaf26f4a6)
Для произвольной чётной степени:
, где
пробегает все n возможных значений
Для произвольной нечётной степени:
, где
пробегает все n возможных значений
, где ![{\displaystyle n\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedc99ee9cd35f9c34b0f743f8c26b34359ca2fe)
, где ![{\displaystyle n\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedc99ee9cd35f9c34b0f743f8c26b34359ca2fe)
- М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.