Сопряжённые числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Геометрическое представление и его сопряжённого на комплексной плоскости

Сопряжённые числа (комплексно-сопряжённые числа) — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине противоположными по знаку мнимыми частями[1]. Например, сопряжёнными являются числа и . Число, сопряжённое к числу , обозначается . В общем случае, сопряжённым к числу (где и  — действительные числа) является .

Например:

На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид и , что непосредственно следует из формулы Эйлера.

Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Свойства[править | править код]

Для произвольных комплексных чисел и :

  • ,
  • является действительным числом,
  • для всех целых ,
  • ,
  • ,
  • (то есть, сопряжения является инволюцией),
  • , если не равно нулю. С помощью этого свойства вычисляют обратное комплексного числа заданного в прямоугольных координатах.

Если является голоморфной функцией, сужение которой на множество действительных чисел является действительной функцией, и определены , то:

.

В частности:

  • , если не равно нулю.
  • если  — полином с действительными коэффициентами и , то также , то есть комплексные (не действительные) корни таких многочленов всегда образуют комплексно-сопряжённые пары.

Определение координат числа и сопряжения[править | править код]

Прямоугольные и полярные координаты комплексного числа могут быть определены с помощью формул:

  • (если не равно нулю).

Примечания[править | править код]

  1. Weisstein, Eric W. Complex Conjugates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература[править | править код]