Сопряжённые числа

Геометрическое представление $z$ и его сопряжённого ${\bar {z}}$ на комплексной плоскости

Сопряжённые числа (комплексно-сопряжённые числа) — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку, мнимыми частями. Например, сопряжёнными являются числа $3+4i$ и $3-4i$. Число, сопряжённое к числу $z$, обозначается ${\overline {z}}$. В общем случае, сопряжённым к числу $z=a+ib$ (где $a$ и $b$ — действительные числа) является ${\overline {z}}=a-ib$.

Например:

${\overline {3-2i}}=3+2i$

${\overline {7}}=7$

${\overline {i}}=-i.$

На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид $re^{i\phi }$ и $re^{-i\phi }$, что непосредственно следует из формулы Эйлера.

Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Свойства

Для произвольных комплексных чисел $z$ и $w$:

• ${\overline {z\pm w}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}$,
• ${\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$
• ${\overline {z}}=z\Leftrightarrow z$ является действительным числом,
• ${\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}$ для всех целых $n$,
• $\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$,
• ${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z$,
• ${\overline {\overline {z}}}=z$ (то есть, сопряжение является инволюцией),
• $z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$, если $z$ не равно нулю. С помощью этого свойства вычисляют обратное комплексного числа заданного в прямоугольных координатах.

Если $\phi$ является голоморфной функцией, сужение которой на множество действительных чисел является действительной функцией, и определены $\phi (z)$, то:

$\phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}$.

В частности:

• $\exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}$
• $\log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}$, если $z$ не равно нулю.
• если $p$ — полином с действительными коэффициентами и $p(z)=0$, то также $p({\overline {z}})=0$, то есть комплексные (не действительные) корни таких многочленов всегда образуют комплексно-сопряжённые пары.

Определение координат числа и сопряжения

Прямоугольные и полярные координаты комплексного числа могут быть определены с помощью формул:

• $x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2$
• $y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i$
• $\rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}$
• $e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}$ (если $z$ не равно нулю).

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.