Степень отображения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Степень отображениягомотопический инвариант непрерывного отображения между компактными многообразиями равной размерности.

В простейшем случае, для отображения из окружности в окружность степень отображения можно определить как число оборотов точки когда пробегает окружность.

Определения[править | править вики-текст]

Гомологическое[править | править вики-текст]

Пусть X и Y замкнутые связные ориентируемые многообразия равной размерности. Тогда степень непрерывного отображения определяется как целое число такое, что

где обозначает индуцированный гомоморфизм между кольцами гомологий и обозначает фундаментальный класс многообразия .

Через подсчёт ориентаций[править | править вики-текст]

Рассмотрим гладкое отображение n-мерных ориентированных гладких многообразий . Точка из называется регулярной, если у неё конечное число прообразов и в каждом из её прообразов отображение не вырождено (т. е. невырожден дифференциал отображения в каждом из прообразов). Припишем каждому прообразу регулярной точки число +1, если отображение в этой точке сохраняет ориентацию и −1 в противном случае. Тогда сумма чисел всех прообразов регулярной точки называется степенью отображения.

При этом степень отображения не зависит от выбора регулярной точки (т. е. это определение корректно).

Свойства[править | править вики-текст]