Степень отображения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Степень отображениягомотопический инвариант непрерывного отображения между компактными многообразиями равной размерности.

В простейшем случае, для отображения из окружности в окружность \varphi\colon\mathbb S^1\to \mathbb S^1 степень отображения можно определить как число оборотов точки \varphi(x) когда x пробегает окружность.

Определения[править | править вики-текст]

Гомологическое[править | править вики-текст]

Пусть X и Y замкнутые связные ориентируемые многообразия равной размерности. Тогда степень непрерывного отображения f\colon X\to Y определяется как целое число \deg(f) такое, что

f_*([X])=\deg(f)[Y].

где f_* обозначает индуцированный гомоморфизм между кольцами гомологий и [X] обозначает фундаментальный класс многообразия X.

Через подсчёт ориентаций[править | править вики-текст]

Рассмотрим гладкое отображение n-мерных ориентированных гладких многообразий \varphi: M_1^n\to M_2^n. Точка из M_2^n называется регулярной, если у неё конечное число прообразов и в каждом из её прообразов отображение \varphi не вырождено (т. е. невырожден дифференциал отображения в каждом из прообразов). Припишем каждому прообразу регулярной точки число +1, если отображение \varphi в этой точке сохраняет ориентацию и −1 в противном случае. Тогда сумма чисел всех прообразов регулярной точки называется степенью отображения.

При этом степень отображения не зависит от выбора регулярной точки (т. е. это определение корректно).

Свойства[править | править вики-текст]