Субдифференциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

Определение[править | править вики-текст]

Субдифференциалом выпуклой функции в точке называется множество, состоящее из всех линейных функционалов , удовлетворяющих для всех неравенству

.

Функция называется субдифференцируемой в точке , если множество непусто.

Вектор , принадлежащий субдифференциалу , называется субградиентом функции в точке .

Свойства[править | править вики-текст]

  •  — выпуклое (возможно пустое) множество в

Пусть f1(x), f2(x) — выпуклые конечные функции, причем одна из них непрерывна в точке x, , тогда

  • , сумма понимается в смысле суммы Минковского.
  • если функция выпукла и непрерывна в точке , то она субдифференцируема в этой точке , то есть , и её субдифференциал является множеством компактным и выпуклым
  • пусть функция выпукла и конечна. В этом случае функция дифференцируема по Гато в точке тогда и только тогда, когда её субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора
  • функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.
  • Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.