Существенно особая точка

Существенно особая точка — изолированная особая точка $z_{0}$ функции $f(z)$, голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, такая, что предел $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)$ не существует.

Точка $z_{0}$ является существенной особой точкой функции $f(z)$ тогда и только тогда, когда в разложении функции $f(z)$ в ряд Лорана в проколотой окрестности точки $z_{0}$ главная часть содержит бесконечное число отличных от нуля членов, то есть в разложении:

$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}$

число коэффициентов $f_{k}\neq 0$ для $k<0$ бесконечно.

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса: каким бы ни было комплексное число $B$, для любого $\varepsilon >0$ в любой окрестности существенно особой точки $z_{0}$ найдется точка $z$, такая, что $|f(z)-B|<\varepsilon$.

Другие типы изолированных особых точек: устранимая особая точка (предел существует и конечен) и полюс (предел существует и бесконечен).

Литература

• Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1969.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969.