Ряд Лорана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Термин назван в честь французского математика П. А. Лорана.

1. Ряд Лорана в конечной точке — функциональный ряд по целым степеням над полем комплексных чисел:

где переменная , а коэффициенты для .

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

  1.  — часть по неотрицательным степеням ,
  2.  — часть по отрицательным степеням .

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если — область сходимости ряда Лорана такая, что , то для

ряд называется правильной частью,
ряд называется главной частью.

2. Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке — функциональный ряд по целым степеням над полем комплексных чисел:

где переменная , а коэффициенты для .

По внешнему виду ряд для совпадает с рядом для , однако, с формальной точки зрения получен с помощью замены для .

Если — область сходимости ряда Лорана такая, что , то для

ряд называется правильной частью,
ряд называется главной частью.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Часть по положительным степеням сходится во внутренности круга радиуса ,
часть по отрицательным степеням сходится во внешности круга радиуса .
Поэтому, если , то внутренность области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо
.
  • Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности зависит только от для произвольного ,
а в точках граничной окружности — только от для произвольного .
Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца может быть разнообразным.
  • Во всех точках кольца ряд Лорана сходится абсолютно.
  • На любом компактном подмножестве ряд сходится равномерно.
  • Для каждой точки существует такое значение , что , и ряд Лорана может быть записан в виде сходящегося в ряда по степеням :
где , а для ,
т.е. является для правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в есть аналитическая функция .
  • Для на граничных окружностях кольца сходимости существуют непустые множества , точек, не являющихся для правильными.
  • Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном почленно.
  • Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в функцию только при , поскольку для любого значение
Ряд , представляющий в двусвязной области функцию , для любого компактного и любой спрямляемой ориентированной кривой можно интегрировать по почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек и не зависит от формы кривой .
  • Коэффициенты ряда Лорана удовлетворяют соотношениям
,
где — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном и один раз обходящая против часовой стрелки точку . В частности, в качестве можно взять любую окружность радиуса с центром в , расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр должен возрастать).
  • Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням , сходящихся в и соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности или на гомотопной ей по спрямляемой кривой , то совпадают все коэффициенты этих рядов.

Теорема Лорана[править | править вики-текст]

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая функция , являющаяся однозначной и аналитической в кольце , представима в сходящимся рядом Лорана по степеням .

Представление однозначной аналитической функции в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки:

1) если точка , то существует радиус такой, что в проколотой окрестности

функция представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка , то существует радиус такой, что в проколотой окрестности

функция представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности :

Литература[править | править вики-текст]