Ряд Лорана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряд Лорана — двусторонний бесконечный степенной ряд по целым степеням над полем комплексных чисел:

где

Этот ряд является суммой двух рядов:

  1.  — неотрицательная часть ряда Лорана, которая иногда называется регулярной или тейлоровской и
  2.  — отрицательная часть ряда Лорана, которая иногда называется главной.

При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его регулярная и главная части. Термин назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо
  • Во всех точках своего кольца сходимости ряд Лорана сходится абсолютно;
  • Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
  • На любом компактном подмножестве ряд сходится равномерно;
  • Сумма ряда Лорана в есть аналитическая функция ;
  • Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в почленно;
  • Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в , то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
  • Коэффициенты ряда Лорана определяются через его сумму формулами
где , ,  — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

Теорема Лорана[править | править вики-текст]

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая однозначная аналитическая функция в кольце представима в сходящимся рядом Лорана.

В частности, в проколотой окрестности

изолированной особой точки однозначная аналитическая функция представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.

Тип особой точки определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности этой точки:

Литература[править | править вики-текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.