Полюс (комплексный анализ)

Модуль Гамма-функции $\Gamma (z)$. Слева (Re z<0) у функции есть полюса, в них она стремится к бесконечности. Справа (Re z>0) полюсов нет, функция всюду конечна.

Изолированная особая точка $z_{0}$ называется полюсом функции $f(z)$, голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел

$\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty$.

Критерии полюса

• Точка $z_{0}$ является полюсом тогда, и только тогда, когда в разложении функции $f(z)$ в ряд Лорана в проколотой окрестности точки $z_{0}$ главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, то есть

$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}$,

где $P(z)$ — правильная часть ряда Лорана.

Если $f_{-n}\neq \ 0$, то $z_{0}$ называется полюсом порядка $n$.

Если $n=1$, то полюс называется простым.

• Точка $z_{0}$ является полюсом порядка $k$ тогда и только тогда, когда $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty$, а $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty$
• Точка $z_{0}$ является полюсом порядка $k$ тогда и только тогда, когда она является для функции $F(z)={\frac {1}{f(z)}}$ нулем порядка $k$.

См. также

• Нуль (комплексный анализ)
• Мероморфная функция
• Вычет
• Интегральная формула Коши

• Другие типы изолированных особых точек:
  • Устранимая особая точка
  • Существенно особая точка

Литература

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.