Полюс (комплексный анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Модуль Гамма-функции \Gamma(z). Слева (Re z<0) у функции есть полюса, в них она стремится к бесконечности. Справа (Re z>0) полюсов нет, функция всюду конечна.

Изолированная особая точка z_0 называется полюсом функции f(z), голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел

 \lim_{z \to {z_0}}f(z) = \infty .

Критерии полюса[править | править исходный текст]


f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f_k}(z-z_0)^k = P(z)+f_{-n}(z-z_0)^{-n}+ \ldots + f_{-1}(z-z_0)^{-1}
,

где P(z)правильная часть ряда Лорана. Если f_{-n} \ne \ 0 , то z_0 называется полюсом порядка n. Если n=1, то полюс называется простым.

  • Точка z_{0} является полюсом порядка k тогда и только тогда, когда  \lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^{k-1} = \infty , а  \lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^k \ne \infty
  • Точка z_{0} является полюсом порядка k тогда и только тогда, когда она является для функции F(z)=\frac{1}{f(z)} нулем порядка k

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
  • Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.