Сходимость почти всюду

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру[1].

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — пространство с мерой, и . Говорят, что сходится почти всюду, и пишут -п.в., если[1]

.

Терминология теории вероятностей[править | править вики-текст]

Если есть вероятностное пространство, и  — случайные величины, такие что

,

то говорят, что последовательность сходится почти наверное к [2].

Свойства сходимости п.в.[править | править вики-текст]

  • Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду.
  • Пусть , где , и сходится почти всюду к . Пусть также существует функция такая, что для всех и почти всех (суммируемая мажоранта). Тогда , и в . Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в . Например, последовательность функций сходится к 0 почти всюду на , но не сходится в .
  • Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверно[3].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Дьяченко, Ульянов, 1998, с. 55 §13. Сходимость почти всюду.
  2. Математическая Энциклопедия, 1985, с. 313 Сходимость почти навероное.
  3. Дьяченко, Ульянов, 1998, с. 57 Теорема 13.2 (Пример Рисса).

Литература[править | править вики-текст]

  • Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. — М.: «Факториал», 1998.
  • Математическая Энциклопедия / И.М. Виноградов. — 1985. — Т. 5 (Случайная величина — Ячейка).