Сходимость почти всюду

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Последовательность функций схо́дится почти́ всю́ду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть пространство с мерой, и . Говорят, что сходится почти всюду, и пишут -п.в., если

.

Терминология теории вероятностей[править | править вики-текст]

Если есть вероятностное пространство, и случайные величины, такие что

,

то говорят, что последовательность схо́дится почти́ наве́рное к .

Свойства сходимости п.в.[править | править вики-текст]

  • Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду.
  • Пусть , где , и сходится почти всюду к . Пусть также существует функция такая, что для всех и почти всех (суммируемая мажоранта). Тогда , и в . Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в . Например, последовательность функций сходится к 0 почти всюду на , но не сходится в .
  • Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверно.

См. также[править | править вики-текст]