Прямоугольное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Прямоуго́льное число́ — число, которое является произведением двух последовательных целых чисел[1], то есть имеет вид где В части источников также допускается случай данная статья нумерует числа с 1, если не оговорено иное.

Значение прямоугольного числа имеет простой геометрический смысл — оно равно площади прямоугольника шириной и высотой Поэтому многие источники относят прямоугольные числа к классу фигурных чисел, тем более что они тесно связаны с другими разновидностями чисел этого класса[2].

Начало последовательности прямоугольных чисел:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, … (последовательность A002378 в OEIS)
* * * * *
* * *
* * * *
* * * *
* * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
1×2 2×3 3×4 4×5

Свойства[править | править код]

Все прямоугольные числа чётны, поэтому все они, кроме числа 2, являются составными.

Среднее арифметическое двух последовательных прямоугольных чисел является квадратным числом:

Другими словами, между последовательными прямоугольными числами всегда содержится полный квадрат, причём только один (поскольку ).

Прямоугольное число 4×5 составлено из двух одинаковых треугольных чисел

-е по порядку прямоугольное число равно удвоенному -му треугольному числу и на больше -го квадратного числа:

Поскольку треугольное число то вдвое большее прямоугольное число равно сумме первых чётных чисел.

Из того, что последовательные целые числа взаимно просты, следует:

  • Каждый простой делитель прямоугольного числа может встретиться только в одном из множителей.
  • Прямоугольные числа свободны от квадратов тогда и только тогда, когда свободны от квадратов как так и
  • Число различных простых делителей прямоугольного числа есть сумма числа различных простых делителей и
  • Здесь уголки Айверсона округляют до целого в меньшую сторону, а — в бо́льшую.

Сумма есть квадратное число где обозначает по порядку центрированное шестиугольное число.

Ряд из обратных прямоугольных чисел относится к категории телескопических рядов и поэтому сходится:

Применение[править | править код]

Прямоугольное число задаёт:

  • число недиагональных элементов квадратной матрицы [3];
  • число размещений из элементов по 2;
    • в частности, число рёбер, соединяющих (различные) вершины ориентированного графа с вершинами (например, общее число писем, которые могут отправить друг другу, по одному, абонент).

Если приписать к каждому прямоугольному числу, включая 0, справа 25, получится последовательность квадратов чисел, оканчивающихся на 5:

Это следует из формулы:

Производящая функция[править | править код]

Производящая функция последовательности прямоугольных чисел[4]:

Примечания[править | править код]

  1. Britannica (онлайн). Дата обращения: 12 ноября 2021. Архивировано 12 ноября 2021 года.
  2. Ben-Menahem, Ari. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volume 1. — Springer-Verlag, 2009. — С. 161. — (Springer reference). — ISBN 9783540688310.
  3. Rummel, Rudolf J. Applied Factor Analysis. — Northwestern University Press, 1998. — С. 319. — ISBN 9780810108240.
  4. MathWorld.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]