Прямоугольное число

Прямоуго́льное число́ — число, которое является произведением двух последовательных целых чисел, то есть имеет вид $R_{n}=n(n+1),$ где $n\geqslant 1..$ В части источников также допускается случай $R_{0}=0;$ данная статья нумерует числа с 1, если не оговорено иное.

Значение прямоугольного числа имеет простой геометрический смысл — оно равно площади прямоугольника шириной $n+1$ и высотой $n.$ Поэтому многие источники относят прямоугольные числа к классу фигурных чисел, тем более что они тесно связаны с другими разновидностями чисел этого класса.

Начало последовательности прямоугольных чисел:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, … (последовательность A002378 в OEIS)

1×2	2×3	3×4	4×5

Свойства

Все прямоугольные числа чётны, поэтому все они, кроме числа 2, являются составными.

Среднее арифметическое двух последовательных прямоугольных чисел является квадратным числом:

${\frac {R_{n}+R_{n+1}}{2}}=(n+1)^{2}$

Другими словами, между последовательными прямоугольными числами всегда содержится полный квадрат, причём только один (поскольку $n^{2}<R_{n}<(n+1)^{2}<R_{n+1}<(n+2)^{2}$).

Прямоугольное число 4×5 составлено из двух одинаковых треугольных чисел

$n$-е по порядку прямоугольное число равно удвоенному $n$-му треугольному числу и на $n$ больше $n$-го квадратного числа:

$R_{n}=2T_{n}=n^{2}+n$

Поскольку треугольное число $T_{n}=1+2+3+\ldots +n,$ то вдвое большее прямоугольное число $R_{n}$ равно сумме первых $n$ чётных чисел.

Из того, что последовательные целые числа взаимно просты, следует:

• Каждый простой делитель прямоугольного числа может встретиться только в одном из множителей.
• Прямоугольные числа свободны от квадратов тогда и только тогда, когда свободны от квадратов как $n,$ так и $n+1.$
• Число различных простых делителей прямоугольного числа есть сумма числа различных простых делителей $n$ и $n+1.$
• $\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {n}}\rceil =n.$ Здесь уголки Айверсона$\lfloor {x}\rfloor$ округляют $x$ до целого в меньшую сторону, а $\lceil {x}\rceil$ — в бо́льшую.

Сумма $R_{n}+C_{n+1}^{(6)}$ есть квадратное число $(2n+1)^{2},$ где $C_{n+1}^{(6)}$ обозначает $(n+1)$-е по порядку центрированное шестиугольное число.

Ряд из обратных прямоугольных чисел относится к категории телескопических рядов и поэтому сходится:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=1.$

Применение

Прямоугольное число $R_{n}$ задаёт:

• число недиагональных элементов квадратной матрицы $n\times n$;
• число размещений из $n+1$ элементов по 2;
  • в частности, число рёбер, соединяющих (различные) вершины ориентированного графа с $(n+1)$ вершинами (например, общее число писем, которые могут отправить друг другу, по одному, $(n+1)$ абонент).

Если приписать к каждому прямоугольному числу, включая 0, справа 25, получится последовательность квадратов чисел, оканчивающихся на 5:

$025=5^{2},\ 225=15^{2},\ 625=25^{2},\ 1225=35^{2},\ 2025=45^{2},\ 3025=55^{2},\ldots$

Это следует из формулы:

$(10n+5)^{2}=100n(n+1)+25.$

Производящая функция

Производящая функция последовательности прямоугольных чисел:

${\frac {2x}{(1-x)^{3}}}=2x+6x^{2}+12x^{3}+20x^{4}+\ldots$

Литература

• Conway, J. H.; Guy, R. K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, pp. 33—34.
• Dickson, L. E. (2005), "Divisibility and Primality", History of the Theory of Numbers, vol. 1, New York: Dover, p. 357.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pronic Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Oblong numbers на сайте Fun With Num3ers  (англ.).