Теорема Брианшона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Brianshon.png

Теорема Брианшона является классической теоремой проективной геометрии. Она сформулируется следующим образом:

Если шестиугольник описан около конического сечения, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку.


В частности, в вырожденном случае:

Papp-brianshon2.png

Если стороны шестиугольника проходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие его противоположные вершины, проходят через одну точку.


Теорема Брианшона двойственна к теореме Паскаля, а её вырожденный случай двойственен к теореме Паппа.

Пример применения теоремы Брианшона. Доказательство существования перспектора коники[править | править вики-текст]

  • Если в теореме Брианшона о шестиугольнике, описанном около коники (конического сечения), три разные соседние пары точек касания шестиугольника с коникой соединить вместе в три разные точки, то три пары смежных сторон шестиугольника выродятся в три стороны треугольника, касающегося коники в упомянутых трех разных точках. При этом каждая сторона треугольника будет составлена из пары сторон шестиугольника. Тогда три диагонали шестиугольника (выродившегося в треугольник), соединяющие три разные пары его противоположных вершин и проходящие через одну точку (по теореме Брианшона), превратятся в чевианы, пересекающиеся в одной точке, называемой перспектором коники.
  • Чевиана — отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной ей стороне или на её продолжении. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трех таких отрезков, проведенных из трех разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. Они удовлетворяют условиям теоремы Чевы. Поэтому перспектор коники всегда является точкой пересечения трех чевиан треугольника.

История[править | править вики-текст]

Теорема была доказана Брианшоном в 1810 году.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]