Принцип двойственности (проективная геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Принцип двойственности в проективной геометрии — набор утверждений, устанавливающих соответствия между различными объектами в проективных пространствах (например, подпространствами различных размерностей) и их свойствами. Таким образом, если в проективной геометрии доказана теорема A, а утверждение B двойстенно к A, то B также доказано. Например, на проективной плоскости двойственными объектами являются «точка» и «прямая», а свойству «точка лежит на прямой» соответствует двойственное свойство «прямая проходит через точку».

Формулировка[править | править код]

  • Если для всех проективных пространств одной и той же размерности n над одним и тем же полем доказана теорема, в формулировке которой участвуют лишь понятия проективного подпространства, размерности, проективной оболочки и пересечения, то для всех таких пространств справедлива двойственная теорема, получающаяся из исходной следующей заменой:[1]
размерность m размерность n-m-1
пересечение проективная оболочка
проективная оболочка пересечение
  • Принцип двойственности допускает обобщение на проективные алгебраические многообразия. В частности, для квадрик в проективном пространстве имеет место следующее утверждение: множество касательных гиперплоскостей к невырожденной квадрике в проективном пространстве образует невырожденную квадрику в пространстве (звёздочка, как обычно, означает сопряжённое пространство)[2]. Таким образом, принцип двойственности можно дополнить следующими пунктами:
невырожденная квадрика в невырожденная квадрика в
точка содержится в невырожденной квадрике гиперплоскость касается невырожденной квадрики

История[править | править код]

Принцип двойственности в проективную геометрию ввел Жергонн в 1810 г.[3]

Примеры[править | править код]

  • Двойственными утверждениями в проективной геометрии на плоскости являются известные теоремы Паскаля и Брианшона. Теорема Паскаля утверждает, что во всяком шестивершиннике, вписанном в линию 2-го порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой. Теорема Брианшона утверждает, что во всяком шестистороннике, описанном около линии 2-го порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
  • Двойственным утверждением к теореме Дезарга является теорема, обратная к теореме Дезарга. Поэтому, в силу принципа двойственности, если в некоторой проективной геометрии теорема Дезарга верна, то верно и её обращение.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. 9, § 1. — М.: Физматлит, 2009.
  2. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. 11, § 1. — М.: Физматлит, 2009.
  3. J J O'Connor and E F Robertson. Joseph Diaz Gergonne. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (сентябрь 2000).

Литература[править | править код]